ENS Mathématiques D MP 2018

CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÈRE MPI

(Durée : 6 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Dans tout ce problème, désigne un intervalle de de la forme avec . On note l'espace vectoriel des fonctions continues . On munit cet espace de la norme définie par . Si est une partie de et si , on dit que est une limite uniforme d'éléments de s'il existe une suite d'éléments de telle que quand .

On note l'ensemble des entiers positifs (ou nuls). Si , on note l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus . On dit qu'un polynôme est unitaire si ou bien s'il existe un entier et un polynôme tels que .

La restriction à permet de voir comme un sous-espace vectoriel de , ce que nous faisons. Nous munissons alors et de la norme .

On rappelle le théorème de Weierstrass.
Théorème. Toute fonction est limite uniforme d'éléments de .
L'essentiel du problème (les parties 3 à 7) est inspiré par la question suivante : quelles fonctions continues sur sont limites uniformes de polynômes à coefficients entiers? Le problème comporte sept parties. Les résultats des questions 2.4 à 2.8 ne sont pas utilisés dans la suite. La partie 5 n'utilise pas les résultats des parties précédentes.

Soit et soit . On pose .
1.1. Montrer que l'ensemble des tels que est un compact non vide de .
1.2. Montrer qu'il existe un élément tel que . En déduire que si , on a alors .

On suppose dans la suite de cette partie que .
1.3. Soit le nombre de solutions dans de l'équation ; on suppose que et on note ces solutions , avec .

Montrer qu'il existe un polynôme tel que pour tout .
1.4. Pour , on pose

Soit . Montrer qu'il existe tel que pour tout .
1.5. Soit et soit , à ajuster ensuite. Soit comme à la question 1.4. Pour , on pose . Montrer que pour tout , on a

1.6. Montrer que pour un choix convenable de , il existe tel que . En déduire que l'équation admet au moins solutions distinctes dans .
1.7. On suppose qu'il existe tels que . Montrer que (on pourra appliquer la question 1.6 à .

Soit une partie compacte de . Si , on pose . On suppose que est un ensemble infini.
2.1. Montrer que si est un entier, il existe un polynôme , unitaire de degré , tel que , où parcourt l'ensemble des polynômes unitaires de degré à coefficients dans . On pose .

Montrer que si et , un tel polynôme est unique. On le note .
2.2. Soit une suite de réels telle que pour tout , on a

Soit . Montrer que quand .
2.3. Montrer que la suite admet une limite, notée .
2.4. On pose et, pour tout , on pose . Montrer que la suite est décroissante. En déduire qu'elle converge ; on notera sa limite.
2.5. Montrer que pour tout entier , on a .

On pourra montrer qu'il existe tels que , puis considérer et choisir judicieusement .
2.6. Montrer qu'il existe tels que pour tout polynôme unitaire de degré , on a

En déduire que .
2.7. Soit une suite de réels qui converge vers une limite . Pour , on pose . Montrer que quand .
2.8. Montrer que .

Remarque. Cette limite commune est appelée la capacité de .

Dans toute cette partie, est un entier strictement positif.
3.1. Montrer qu'il existe un et un seul polynôme tel que pour tout . Quel est son degré ?
3.2. Montrer que est un polynôme unitaire qui admet extrema dans l'intervalle .
3.3. Soit , soit la fonction définie par et soit un élément de tel que (cf. la question 1.2). On suppose que .

Montrer que le polynôme a au moins racines distinctes dans . En déduire que si , alors (le polynôme est défini à la question 2.1).
3.4. Calculer et en déduire que puis que (où est défini à la question 2.3).
3.5. Montrer que si avec , et que est un polynôme non constant à coefficients entiers, alors .
3.6. En déduire que si , une fonction est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement si est elle-même un polynôme à coefficients entiers.

On suppose dans le reste du problème que avec .
4.1. Montrer qu'il existe un polynôme unitaire non constant tel que .
4.2. Soit un polynôme de degré . Montrer que si , il existe et tels que

4.3. Soit le degré du polynôme construit à la question 4.1 et soient et des entiers; on pose . Montrer qu'il existe des réels pour et pour , tels que l'on peut écrire , où

où est un polynôme unitaire de degré à coefficients entiers et où est un polynôme de degré au plus et à coefficients dans .
4.4. Choisir soigneusement et montrer qu'il existe alors deux entiers tels que est un polynôme unitaire non constant à coefficients entiers vérifiant .

Définition. Soit l'ensemble des tels que pour tout polynôme à coefficients entiers vérifiant . Par la question 4.4, l'ensemble est fini.
4.5. Déterminer lorsque avec , puis lorsque .
4.6. Soit une fonction qui est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers tel que pour tout .
4.7. Montrer qu'il existe un polynôme unitaire à coefficients entiers tel que et que, si vérifie , alors .

Notation. Dans le reste de cette partie, désigne un tel polynôme et son degré.
4.8. Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout , il existe vérifiant . On pourra utiliser la question 4.2.
4.9. Soit une fonction telle que pour tout vérifiant , il existe tel que pour tout vérifiant .

Soit . En appliquant le théorème de Weierstrass (rappelé dans l'introduction) à pour grand, montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers tel que .
4.10. Soit une fonction telle que pour tout vérifiant , on a . Montrer que est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers.
4.11. Montrer qu'une fonction est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement s'il existe un polynôme à coefficients entiers tel que pour tout .
4.12. Montrer qu'une fonction est une limite uniforme de polynômes à coefficients entiers si et seulement si et et sont de même parité.

Définitions. Soit . On considère des polynômes en les variables et à coefficients dans , c'est à dire avec et où la somme est finie. L'ensemble de ces polynômes est noté et forme un anneau.

Un monôme est un polynôme de la forme avec . Son degré est le -uplet . Nous dirons qu'un -uplet est plus petit qu'un -uplet si ou bien si et qu'il existe tel que et .
5.1. Montrer que si et sont des -uplets avec , alors soit est plus petit que , soit est plus petit que .
5.2. Montrer que si l'on se donne un -uplet , l'ensemble des -uplets qui sont plus petits que est fini.

Définitions. Si est un polynôme non nul, on note le coefficient du monôme , où ( ) est le plus grand des degrés pour lesquels . Le degré ( ) correspondant est le degré de , noté deg .

Si est une permutation de l'ensemble et si , on note le polynôme . On dit que est un polynôme symétrique si pour toute permutation . Les éléments de sont définis par la formule . Ce sont donc des polynômes symétriques. On a .
5.3. Soit un polynôme symétrique non nul et soit ( ) le degré de . Montrer que .
5.4. Soit un polynôme comme dans la question précédente. On pose

Montrer que

Définition. On dit qu'un nombre complexe est un entier algébrique s'il existe un polynôme unitaire (non nul) à coefficients entiers tel que .
6.1. Montrer que si , alors est un entier algébrique si et seulement si .
6.2. Si , on note le de . Montrer que si , on a alors .

On pourra montrer que si un nombre premier divise , alors il divise ou .
6.3. Montrer que si est un entier algébrique, il existe un et un seul polynôme unitaire tel que et tel que est irréductible dans .

Montrer que est à racines simples dans .
Définition. Dans les notations de 6.3 , les racines de dans (y compris lui-même) s'appellent les conjugués de . On a alors .
6.4. Dans les notations ci-dessus, soit un élément de tel qu'il existe vérifiant . Montrer que divise dans .
6.5. Soient et des entiers algébriques et soient les conjugués de . Montrer (par exemple en utilisant la question 5.5) que les coefficients du polynôme

sont dans . En déduire que est un entier algébrique.
6.6. Montrer que si et sont des entiers algébriques, alors est un entier algébrique.

Définition. Soit et soit l'ensemble des qui sont des entiers algébriques dont tous les conjugués appartiennent aussi à . Cet ensemble s'appelle le noyau de Fekete de .
6.7. Soit un polynôme à coefficients entiers tel que , soit un élément de et soient ses conjugués. Montrer que est un élément de , puis que . En déduire que .
6.8. En considérant par exemple le polynôme , calculer pour tout intervalle avec .