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ENS Mathématiques D MP 2015

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Algèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries et familles sommables
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X-ENS
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2015MP MathsMaths 2015
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)

(Durée : 6 heures)
L'utilisation des calculatrices électroniques est interdite.
Le problème est consacré à l'étude de la répartition de certains ensembles d'entiers dans les suites arithmétiques. Les deux premières parties sont consacrées à des ensembles arbitraires, et les deux suivantes à l'ensemble des nombres premiers.
Les parties I, II et III sont indépendantes. La partie IV utilise les résultats de la partie III.

Préambule

Le cardinal d'un ensemble fini est noté . Si et sont deux ensembles quelconques, on note l'ensemble des éléments de qui n'appartiennent pas à .
On dira qu'une suite finie d'entiers relatifs est en progression arithmétique si l'on peut trouver deux entiers et tels que pour . L'entier est alors la raison de cette progression arithmétique.

I

Si et sont deux ensembles finis, la discrépance de par rapport à est l'entier positif
  1. Soit un ensemble fini de cardinal . Soit l'ensemble des sous-ensembles de .
    (a) Calculer le cardinal de .
    (b) Calculer en fonction de les sommes
(c) Calculer les sommes
(d) Montrer l'égalité
  1. Si et sont deux entiers strictement positifs, et si est un entier relatif, on note l'ensemble des éléments de qui sont congrus à a modulo . On note .
    (a) Montrer que pour tous entiers , le cardinal de est strictement inférieur à .
    (b) Montrer que pour tous entiers , on a
  1. Déduire de la question précédente qu'il existe une constante telle que pour tout entier strictement positif, il existe un sous-ensemble de vérifiant, pour tout compris entre 1 et et tout entre 1 et , l'inégalité
On pourra pour cela choisir judicieusement la valeur de dans l'inégalité ci-dessus.

II

Dans cette partie, on note l'espace vectoriel des fonctions qui sont nulles en dehors d'un ensemble fini. Si est un élément de , on note la fonction
On pourra remarquer que, par définition de l'espace , le membre de droite de l'expression ci-dessus est une somme finie.
  1. (a) Soit un élément de . Pour tout entier , montrer les égalités
(b) Soient et deux éléments de . On définit leur produit de convolution : par la formule
Montrer que est bien défini et appartient à .
(c) Avec les notations de la question précédente, montrer l'égalité .
Dans ce qui suit, soit un entier strictement positif et soit un sous-ensemble de de cardinal . On note .
On note la fonction définie par si si et sinon.
2. Montrer l'égalité
  1. Si est un sous-ensemble fini de , on note la quantité
Soit la fonction caractéristique de , qui vaut 1 en si , et 0 sinon. Montrer l'égalité
Soit un entier positif inférieur ou égal à . On s'autorisera plus tard à choisir de manière adaptée en fonction de .
4. Soit un entier strictement positif. On note la fonction caractéristique de l'ensemble
(a) Soit un entier. Soient des nombres réels. Montrer qu'il existe deux entiers distincts , et un entier relatif , tels que
(b) Soit un nombre réel, et soit un nombre entier strictement positif. Montrer qu'il existe un entier et un entier tels que
(c) Soit un nombre réel. Montrer qu'il existe une constante indépendante de et de , et un entier tel que
  1. Soit un entier. On note l'ensemble
(a) En utilisant la question II.1.(a), montrer l'inégalité
(b) En choisissant judicieusement , montrer que l'on peut trouver une constante indépendante de et de , et un sous-ensemble d'éléments de en progression arithmétique tels que

III

  1. Soit la fonction définie par si et
pour .
(a) Montrer que la formule ci-dessus définit bien une fonction continue sur , de classe sur .
(b) Montrer que pour tout réel , on a .
(c) Montrer que pour tout réel .
(d) Montrer que pour tout entier , on a
(e) Montrer que admet une limite finie en . Dans la suite du problème, on notera cette limite.
(f) Soit la fonction . Montrer l'égalité
(g) Montrer que pour tout réel , il existe deux nombres réels tels que et .
Dans la suite du problème, si est un nombre réel strictement positif, on notera le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à . On admettra dans la suite le théorème suivant, dit théorème des nombres premiers.
Théorème III.1. Il existe une constante telle que
Dans la suite, on notera l'ensemble des nombres premiers.
2. Montrer l'existence d'une constante telle que pour tous réels , on ait
  1. Soit une fonction, et soient deux nombres réels. Soit le plus grand entier strictement inférieur à , et soit le plus grand entier inférieur ou égal à , c'est-à-dire la partie entière de .
    (a) Montrer l'égalité
(b) Montrer l'égalité
où l'on définit, pour tout réel entre et ,
(c) En déduire l'inégalité
où est la constante introduite dans la question 2.
(d) Soit un entier supérieur ou égal à 2 . Montrer que la série converge et que pour tout réel , on a
(e) En utilisant les questions précédentes, montrer qu'il existe une constante telle que pour tout réels , on ait
  1. Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout réel , on ait
Si et sont deux réels strictement positifs, on notera le nombre d'entiers compris entre 1 et au sens large dont tous les facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à . En particulier, pour tout réel , on a .
5. Pour tous réels tels que , montrer l'inégalité
et en déduire qu'il existe une constante telle que pour tout réel et tout réel satisfaisant , on ait
  1. Soient et deux réels strictement positifs. Pour tout , montrer l'égalité
  1. (a) Pour tout réel et tout réel satisfaisant , montrer l'égalité
(b) Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout réel et tout réel satisfaisant , on ait
On appliquera la question III. 6 avec .
(c) Montrer l'existence d'une constante telle que pour tous réels , on ait
On pourra pour cela raisonner par récurrence sur l'unique entier tel que .

IV

Dans cette partie, si est un entier strictement supérieur à 1 , on note le nombre d'entiers qui sont premiers à .
  1. (a) Soit un nombre réel. On note le produit des nombres premiers strictement inférieurs à . Montrer que, quand tend vers , on a
(b) En utilisant la partie précédente, en déduire
où est le nombre réel défini dans la question III.1.(e).
(c) En utilisant les questions 3 et 4 de la partie précédente, montrer par ailleurs que quand tend vers , on a
  1. Soit un nombre réel. Afin d'alléger les notations, on notera . Soient et deux entiers strictement positifs. On considère la matrice rectangulaire de taille dont le coefficient d'indice ( ) est
pour , et l'on suppose .
(a) Montrer que le nombre de lignes de contenant au moins un nombre premier est inférieur ou égal à .
(b) Soit le nombre de nombres premiers apparaissant comme coefficients de la matrice . Montrer l'égalité
(c) On note la quantité
et la quantité
Supposant , montrer l'égalité
  1. En appliquant les résultats ci-dessus à des valeurs de et bien choisies en fonction de , montrer que l'un des deux énoncés suivants est vrai:
  • Soit un nombre réel. On peut trouver un nombre réel , une constante et une infinité d'entiers tels que
  • Soit un nombre réel. On peut trouver un nombre entier , une constante et une infinité d'entiers tels qu'il existe une suite d'entiers premiers à , en progression arithmétique de raison , avec , pour laquelle le nombre de nombres premiers parmi les soit strictement inférieur à
On commencera par estimer le membre de droite dans l'égalité de la question précédente, et on appliquera la question 1.(g) de la partie 3.
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