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ENS Mathématiques D MP 2014

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X-ENS
Année
2014
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2014MP MathsMaths 2014
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES D - (U)

(Durée : 6 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

On note l'ensemble des entiers naturels et le corps des nombres complexes. Le cardinal d'un ensemble fini est noté . Si , on note le symbole de Kronecker défini par si et si .
Si désigne un groupe, on note le commutateur de . Si sont des sous-groupes de , on note le sous-groupe de formé des produits avec entier naturel et .
Une -algèbre est un -espace vectoriel muni d'une loi de multiplication associative , qui est C-bilinéaire, c'est-à-dire satisfaisant pour tous et . On dit que est avec unité s'il existe un élément (nécessairement unique) satisfaisant pour tout . Si est à unité, un élément est inversible s'il existe un élément (nécessairement unique) tel que ; on note le groupe des éléments inversibles de où la multiplication est celle induite par .
Si et sont des -algèbres avec unité, un homomorphisme est une application -linéaire satisfaisant et pour tous . Enfin, on note le groupe des automorphismes de la -algèbre , c'est-à-dire le groupe des homomorphismes bijectifs de dans .
Si est une -sous-algèbre avec unité de , on note le sous-groupe de formé des automorphismes satisfaisant .
Étant donné un entier , on note l'algèbre des matrices carrées de taille à coefficients dans , et sa base canonique définie par pour tous . On note l'unité de .
Si , on note la matrice diagonale d'entrées , c'est-à-dire .
Si est un élément de , on note
le commutant de , c'est une sous-algèbre avec unité de .
On note le groupe des matrices inversibles de .
Si désigne un ensemble fini, on rappelle qu'une partition de est un ensemble fini de parties de satisfaisant :
(a) pour tout ;
(b) ;
(c) pour tous tels que .
On dit qu'une partition de est plus fine qu'une partition de et on note si pour tout , on a
où désigne l'ensemble des entiers de satisfaisant .
Les parties IV, V et VI sont indépendantes de la partie III (en particulier la question III.3) ; les questions VI. 1 et VI. 2 sont indépendantes de V.

I

Soit un entier. On note l'ensemble des partitions de . On note la partition et la partition .
  1. Montrer que pour tout .
  2. Soient avec les notations et . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
    (i) ;
    (ii) Pour tous .
  3. Établir les faits suivants :
    3.a. La relation est une relation d'ordre partiel sur .
    3.b. La relation est une relation d'ordre total si et seulement si .
  4. Si , montrer que le sous-ensemble suivant de
admet un plus petit élément.
On note le plus petit élément de la question I.4.

II

Soit un entier.
On note le groupe des permutations de l'ensemble . Etant donnés un entier et des éléments de distincts deux à deux, on note le cycle associé défini par pour tout et pour tout . L'ensemble est appelé le support du cycle et sa longueur. Etant donnée une partition de , on note
  1. Soit une partition de .
    1.a. Soient deux éléments distincts. Montrer que la transposition ( ) appartient à si et seulement s'il existe un entier tel que .
    1.b. Montrer que est un sous-groupe de et qu'il est isomorphe au groupe produit .
Le groupe est appelé le sous-groupe parabolique attaché à la partition . On dit qu'un sous-groupe de est parabolique s'il existe satisfaisant .
2. Soient .
2.a. Montrer que si et seulement si .
2.b. Montrer que si et seulement si .
3. Soient . Montrer que .
4. Montrer qu'une intersection non vide de sous-groupes paraboliques de est un sousgroupe parabolique de .
5. Soit un sous-groupe de .
5.a. Montrer que l'ensemble des sous-groupes paraboliques de contenant admet un unique élément minimal (pour l'inclusion). On le note .
5.b. On note l'unique partition de satisfaisant . Si , montrer que agit transitivement sur chaque , c'est-à-dire que pour chaque et chaque , on a .
5.c. On suppose que est le sous-groupe de engendré par un cycle . Exprimer en termes du support de .
6. Soit . On note le sous-groupe cyclique de engendré par .
6.a. Montrer que est un cycle de longueur si et seulement si .
6.b. Montrer que se décompose en un produit de cycles à supports disjoints deux à deux.
7. Si , on note la matrice .
7.a. Montrer que définit un homomorphisme injectif de groupes .
7.b. Montrer que le composé
est un homomorphisme de groupes et déterminer son image.
8. Soit décomposé en cycles à supports disjoints de longueurs respectives .
8.a. Montrer que le polynôme caractéristique de est égal à
et en déduire .
8.b. Calculer le polynôme minimal de .

III

Soit un entier.
Un sous-groupe d'un groupe est dit maximal si et si et sont les seuls sous-groupes de contenant .
  1. Soit un groupe fini satisfaisant . Soit un sous-groupe. Montrer que est inclus dans un sous-groupe maximal de .
  2. Soit une partition de satisfaisant et . On suppose que est un sous-groupe maximal de .
    (a) Montrer que ;
    (b) Si , montrer que .
  3. Soit un entier satisfaisant . On note la partition de donnée par et . Montrer que est un sous-groupe maximal de [On pourra commencer par le cas ].

IV

Soit une -algèbre avec unité. Etant donné , on note l'application -linéaire définie par pour tout .
Soit un entier.
  1. Montrer que Int définit un homomorphisme de groupes et décrire son noyau. Discuter le cas de .
Etant donnés et , on note
où est défini en II.7. On définit le sous-ensemble de par
  1. Montrer les faits suivants:
    2.a. La partie est un sous-groupe de .
    2.b. L'application (appliquant ( ) sur ) est bijective.
    2.c. L'application définie par est un homomorphisme de groupes.
  2. On pose .
    3.a. Montrer que est une sous -algèbre avec unité de .
    3.b. Montrer que
3.c. On considère le sous-groupe de défini dans les notations préliminaires. Montrer que
  1. On pose .
    4.a. Montrer que et .
    4.b. Montrer que
  1. Soient satisfaisant . Montrer qu'il existe tel que et .
  2. Montrer que le morphisme de groupes Int : est surjectif.

V

Soient des entiers . On considère la -algèbre produit ( fois). Pour tout , on définit suivant
pour tous .
  1. Établir les faits suivants :
    1.a. Pour tout est un automorphisme de la -algèbre .
    1.b. L'application est un morphisme de groupes.
  2. On suppose dans cette question que . Pour , on note .
    2.a. Montrer que
2.b. Soit . Montrer qu'il existe une unique permutation telle que pour tout .
2.c. En déduire que l'application est un isomorphisme de groupes.
3. On voit maintenant comme la sous-algèbre de consistant en les -uplets .
3.a. Montrer que .
3.b. Soit . Montrer qu'il existe une unique permutation telle que pour tout .
3.c. Montrer que l'application est surjective [On pourra utiliser les sous-espaces de pour .
4. On suppose et soit . On considère l'automorphisme de la -algèbre .
4.a. Expliciter fois et construire un isomorphisme de algèbres entre le commutant (défini dans les préliminaires) du produit dans et le centralisateur
4.b. Si est d'ordre fini (c'est-à-dire s'il existe un entier satisfaisant ), montrer qu'il existe tel que
où est de la forme avec .
4.c. Soit satisfaisant . Montrer que se décompose de la façon suivante
où est un entier et satisfait .
Notation. Soient et des entiers satisfaisant . On considère la -algèbre produit
On considère le morphisme de groupes
où pour tout .
5. Montrer que est surjectif.
6. Soit un sous-groupe abélien fini de . Montrer qu'il existe tel que
où désigne la sous-algèbre des matrices diagonales de . [On pourra raisonner par récurrence sur la dimension de en commençant par le cas où contient un automorphisme intérieur (c'est-à-dire de la forme ) non trivial].
7. Soient un entier et un sous-groupe fini de satisfaisant . Montrer qu'il existe satisfaisant .

VI

Soit un entier, . On considère le sous-groupe et le morphisme de la partie IV. On note le sous-groupe de engendré par les matrices et de IV.4.
  1. Montrer que est un sous-groupe fini de et que .
On dit qu'un sous-groupe fini de est anisotrope s'il n'existe aucune décomposition en sous-espaces vectoriels stables par , c'est-à-dire satisfaisant et pour tout .
2. Montrer que est un sous-groupe anisotrope de .
3. Soit un sous-groupe fini de satisfaisant . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Le groupe est un sous-groupe anisotrope de ;
ii) Pour tout satisfaisant , la partition de attachée en II. 5 au sous-groupe de est la partition minimale .
On suppose désormais que est un nombre premier.
4. Soit un sous-groupe fini de satisfaisant . On suppose que est un sous-groupe anisotrope de .
4.a. Montrer que est un sous-groupe cyclique d'ordre de .
4.b. Montrer qu'il existe tel que .
5. Conclure que si un sous-groupe fini anisotrope de satisfaisant , alors il existe tel que .

FIN

Ce sujet porte sur le groupe symétrique et sur le groupe des matrices monomiales . Dans la partie , on a établi qu'un sous-groupe fini presque commutatif de est conjugué à un sous-groupe de , il s'agit d'un cas particulier d'un théorème de Borel-Mostow sur les algèbres de Lie semi-simples. Dans la partie VI, on classifie les sous-groupes d'Heisenberg de pour premier.
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