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ENS Mathématiques D MP 2013

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractions
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X-ENS
Année
2013
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2013MP MathsMaths 2013
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École Normale Supérieure

Composition de Mathématiques D - (U)

(Durée : 6 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Sujet saisi par Michel Quercia (michel.quercia@prepas.org) d'après l'original.

Polynômes hyperboliques

Préambule

Si ou , on note l'algèbre des fonctions polynomiales sur , dont la base canonique est constituée des fonctions monômes , où et sont les coordonnées de . Par convention, on aura toujours , même lorsque . L'écriture d'une fonction polynomiale comme combinaison linéaire de fonctions monômes étant unique, on utilisera par la suite les mots monôme et polynôme pour désigner des fonctions monômes ou polynomiales.
Le degré du monôme est l'entier . Un polynôme est dit homogène de degré d s'il est combinaison linéaire des monômes de degré d. Les polynômes homogènes de degré d sur forment donc un espace vectoriel que l'on note . Par exemple, est l'ensemble des formes quadratiques sur .
Si est un espace vectoriel sur de dimension finie , le choix d'une base de permet d'identifier V à ; on peut donc parler de polynômes et de polynômes homogènes sur V. On admettra que ces deux notions sont indépendantes du choix de , et on notera (respectivement ) l'espace vectoriel formé des polynômes (respectivement des polynômes homogènes de degré d) sur V.
Si sont deux entiers, on notera l'ensemble des entiers tels que . Si , est donc vide.
  1. Si et , calculer en fonction de .
Le problème traite des polynômes hyperboliques. Soit V un espace vectoriel réel de dimension , soient un entier et un vecteur non nul ; on dit qu'un polynôme homogène de degré sur (donc un élément de ) est hyperbolique dans la direction a si d'une part , et d'autre part, pour tout vecteur , les racines du polynôme à une variable
sont réelles. Remarquons que si est encore hyperbolique dans la direction de sa ; ce qui explique l'emploi du mot direction dans la terminologie ci-dessus.
2) Vérifier que dans cette définition, les racines de , comptées avec leurs multiplicités, sont au nombre de d .
Ces racines seront notées et rangées dans l'ordre croissant:
  1. Exprimer au moyen de et des . Si , exprimer en fonction du signe de les et les au moyen des .

I Exemples

  1. Montrer que la fonction est un polynôme homogène sur l'espace des matrices symétriques réelles à lignes et colonnes, et que ce polynôme est hyperbolique dans une direction convenable.
  2. Pour quelles valeurs de l'entier compris entre 1 et , la forme quadratique
est-elle hyperbolique sur , dans une direction convenable?
6) Si et si est hyperbolique dans une direction , montrer que la formule
définit un polynôme hyperbolique dans la même direction. On notera ce polynôme .
7) Soit et des entiers. On définit sur de d-ème polynôme symétrique élémentaire comme suit
Montrer que est hyperbolique dans la direction .

II Continuité des racines

  1. Soit et deux entiers strictement positifs, et une fonction. On se donne un élément de . On suppose que, pour toute suite ( ) dans qui converge vers , il existe une sous-suite (avec strictement croissante) telle que la suite ( ) converge vers . Montrer que est continue en .
  2. Soit un polynôme hyperbolique dans une direction , où et . On définit l'application
a) Si une suite ( ) de est bornée, montrer que les suites ( ) sont bornées elles-aussi.
b) En utilisant la question 8), montrer que est continue.

III Le cône du futur

Si est hyperbolique dans la direction , on désigne par l'ensemble des vecteurs qui satisfont .
10) Vérifier que est étoilé par rapport à . Montrer que .
On suppose jusqu'à la fin de cette partie que pour tout non colinéaire à , on a les inégalités strictes
et on dit alors que est strictement hyperbolique dans la direction .
11) Soit et . Si , montrer que la fonction
est surjective. Lorsque , à quelle condition existe-t-il deux indices distincts et et un nombre tels que ?
12) En déduire que est strictement hyperbolique dans la direction .
13) Montrer que les sont strictement croissantes.
14) Soit . Montrer que est croissante. En déduire que est concave et que est un cône convexe.
15) Soit . Montrer que .
16) En déduire que si alors .

IV Le cas général

On admet dans cette partie l'énoncé suivant (légèrement moins précis qu'un lemme de Rouché) :
Soient deux polynômes. Soit un nombre complexe et un nombre réel. On suppose que et que
Alors a au moins une racine telle que .
17) Soit un polynôme s'annulant en ( 0,0 ). On suppose que le polynôme n'est pas nul et on note la multiplicité de sa racine . De même, on suppose que le polynôme n'est pas nul et on note la multiplicité de sa racine .
a) Montrer qu'il existe des entiers premiers entre eux, et deux polynômes et vérifiant les conditions suivantes :
  • ;
  • , où vérifie ;
  • est une combinaison linéaire de monômes pour lesquels .
Vérifier que .
b) Monter qu'il existe des polynômes et satisfaisant l'identité
Montrer de plus que possède une racine .
c) Si n'est pas réelle, montrer que pour tout assez petit, il existe tel que .
18) On reprend les notations de la question précédente et on suppose que lorsque y est réel, les racines de sont toutes réelles.
a) Montrer que les racines de sont toutes réelles.
b) Montrer que l'ensemble des racines de est stable par multiplication par . En déduire que .
c) En considérant aussi les points de la forme , montrer qu'en fait .
d) En déduire que .
19) Soit p un polynôme homogène de degré sur un espace vectoriel réel V de dimension , hyperbolique dans la direction de . On ne suppose pas que soit strictement hyperbolique. On se donne .
a) Soit et ; on utilise les fonctions définies à la question III-11). Soit une racine réelle de , de multiplicité . Montrer qu'au plus d'entre les fonctions prennent la valeur en .
b) En déduire que est hyperbolique dans la direction .
Les preuves des autres résultats de la partie III restant valables, on pourra utiliser par la suite le fait que
  • est concave et est un cône convexe ;
  • si , alors .

V L'inégalité de Gårding sur le cône

Soit un espace vectoriel réel de dimension finie et un entier. Une application
est dite symétrique si
pour tous vecteurs et pour toute permutation de .
Une forme d-linéaire symétrique est une application comme ci-dessus, qui satisfait de plus
pour tous vecteurs et pour tous .
Soit une forme -linéaire symétrique. La fonction définie par
est alors polynomiale, homogène de degré . On suppose que est hyperbolique dans la direction de , un vecteur non nul.
20) Soit .
a) Prouver l'identité .
b) En déduire que .
On pourra admettre sans démonstration l'inégalité arithmético-géométrique : si sont des nombres réels positifs, alors
  1. Vérifier que est un polynôme hyperbolique sur , dans la direction de .
  2. Montrer que pour tout choix des vecteurs dans , on a
On pourra faire un raisonnement par récurrence sur le degré d.
23) Applications :
a) Soit et la forme polaire d'une forme quadratique définie positive sur . Soit et . Si et , montrer que
b) Si est une matrice carrée, on définit son permanent
où désigne l'ensemble des bijections de dans lui-même. Si est à coefficients positifs, montrer l'inégalité

VI Concavité de sur le cône

On reprend les notations de la partie . On pourra admettre que pour tout polynôme homogène de degré sur , il existe une forme -linéaire symétrique sur telle que pour tout dans .
24) Soit . En exprimant au moyen de , montrer que
En déduire que la fonction est concave sur .
25) Montrer que l'ensemble des matrices symétriques définies positives à lignes et colonnes est un cône convexe, sur lequel l'application est concave.

VII Inégalités de Weyl

On considère dans cette partie un polynôme homogène sur un espace vectoriel de dimension . On suppose que est strictement hyperbolique (voir III pour cette notion) dans la direction de , de degré . Comme on ne considérera pas d'autre direction d'hyperbolicité que a , on notera au lieu de . On se donne trois indices vérifiant et . On suppose, jusqu'à la question 30 qu'il existe deux vecteurs tels que
  1. Montrer que nécessairement, .
  2. Montrer qu'il existe satisfaisant
  1. On choisit un élément de l'intervalle [, et on considère les fonctions définies par . En examinant les valeurs de en et au voisinage de , donner un minorant du nombre de solutions de l'équation . Ce minorant dépend de l'indice .
  2. a) En déduire que le nombre de racines du polynôme est minoré par
b) Simplifier cette identité en
  1. Montrer que .
  2. Finalement, en conclure que si des entiers sont tels que , alors on a
  1. Cette inégalité est-elle encore vraie lorsque le polynôme hyperbolique n'est pas strictement hyperbolique?

Corrigé

Préambule

  1. Décomposer P en monômes. On obtient .
  2. (termes de degré inférieur). Donc est de degré en ; il admet exactement racines dans et on sait qu'elles sont réelles.
  3. donc et
Pour ,
Par identifications des factorisations de , les listes et coïncident à l'ordre près, ce qui donne :
On obtient de même .

I Exemples

  1. C'est un polynôme homogène de degré vu la formule développée du déterminant. Il est hyperbolique dans la direction de I (matrice identité) d'après le théorème spectral.
  2. où est la forme bilinéaire symétrique polaire de . On a des racines réelles si et seulement si le discriminant est positif ou nul, soit .
    Soit tel que et tq . C'est un hyperplan supplémentaire de (l'espace vectoriel engendré par ) et on veut entre autres pour tout . En notant ( ) la base canonique de , il est nécessaire que . Ces deux espaces sont alors en somme directe ce qui implique par calcul de dimension : donc . Réciproquement, avec , admet bien deux racines réelles donc q est hyperbolique dans la direction de .
Pour a tel que , on trouve de même que si est hyperbolique dans la direction de a alors (donc ), et lorsque cette condition est satisfaite, est hyperbolique dans la direction de .
En conclusion, est hyperbolique dans une direction convenable si et seulement si ou .
6) est bien un polynôme en homogène de degré , non nul en a (cf. P-1)), et on a par différentiation composée: . Notons les racines sans répétition de , de multiplicités . Avec le théorème de Rolle, admet une racine dans chaque intervalle [, et de plus est aussi racine de ce polynôme avec la multiplicité
lorsque . On a ainsi trouvé racines pour , ce qui prouve l'hyperbolicité.
7) Itération de 6) à partir du polynôme , manifestement hyperbolique dans la direction de .

II Continuité des racines

  1. Si on peut trouver et une suite ( ) convergeant vers telle que pour tout . C'est en contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé.
  2. a) polynôme polynôme .
    variant dans un ensemble borné, il existe tel que pour tout et pour tout avec , on a
En particulier, pour et , n'est pas racine. Ainsi, pour tout (dans un ensemble borné) et pour tout , on a .
b) On suppose et on extrait une sous-suite ( ) telle que pour tout , la suite est convergente, de limite . Les limites croissent avec comme le font les à fixé.
Pour fixé on a . p est continue car polynomiale, donc cette limite est égale à , ce qui prouve que pour tout . On peut alors conclure à la continuité de avec 8 ).

III Le cône du futur

  1. pour et . Ceci prouve le caractère étoilé par rapport à . On a vu en I-6) que les racines de sont comprises entre les deux racines extrêmes de , en particulier elles sont toutes strictement positives si , d'où l'inclusion .
  2. Pour par continuité de en . Donc . On montre de même que . Par continuité, l'image de est un intervalle ; c'est .
    avec implique que soit colinéaire à , soit . Réciproquement, si alors , indépendant de .
  3. Avec P-3), on a donc . Ensuite, s'annule à chaque fois qu'une des fonctions s'annule.
    Si , les ont chacune au moins une racine et n'ont pas de racine en commun, donc le polynôme admet au moins d racines réelles distinctes.
    Si , on a avec si et si . Les racines de sont donc les réels (elles sont toutes du même côté de , côté fonction du signe de ). Elles sont distinctes lorsque et par stricte hyperbolicité de dans la direction .
    Il reste à étudier les cas et avec . Dans ces deux cas, est colinéaire à b et admet d racines confondues.
    En changeant en , on a ainsi prouvé la stricte hyperbolicité de dans la direction .
  4. Pour , chaque s'annule exactement une fois (sinon on a trop de racines pour ). Comme et , chaque prend exactement une fois la valeur , et ce pour tout . Ainsi les sont des bijections de sur . Étant continues, elles sont strictement monotones et vu les limites en elles sont strictement croissantes.
    Pour , on a vu que est une fonction continue affine par morceaux de coefficients directeurs strictement positifs ; elle est strictement croissante.
  5. Supposons dans un premier temps que : pour on a , donc est strictement croissante comme on l'a vu à la question précédente. Lorsque , on a par continuité de et donc est croissante au sens large en tant que limite simple de fonctions qui le sont.
    Dans le cas général ( quelconque), on peut remplacer par sans changer la quantité
et on est ramené au cas particulier précédent.
Considérons à présent et on a :
La concavité de et la convexité de s'ensuivent.
15) est un réel tel qu'il existe pour lequel . Si l'on suppose alors
ce qui est absurde.
16) On vient de voir que .
Comme , on a aussi .

IV Le cas général

  1. a) On écrit et .
Alors et l'on a . Il s'agit donc de séparer les termes de selon que ou . sont à déterminer de sorte qu'il n'y ait pas de termes tels que ayant un coefficient non nul. De plus, doit contenir au moins un terme tel que et (condition ).
Notons E l'ensemble des points ( ) du plan pour lesquels . C'est un ensemble fini, contenant au moins les deux points et et ne contenant aucun point avec . Considérons alors une droite variable de pente strictement négative et passant par ( ) : il existe une et une seule position de D pour laquelle tous les points de E sont au dessus de D et au moins un point autre que ( ) est sur : le point ( ) en question est tel que la pente est maximale parmi celles qui sont strictement négatives. On écrit le rationnel sous forme irréductible avec premiers entre eux, donc D a pour équation cartésienne cste et la constante vaut puisque . D étant ainsi choisie, la décomposition de s'ensuit et satisfait clairement aux conditions posées. Par ailleurs .
b) .
On pose et . est bien un polynôme vu la contrainte sur et il est ni constant ni réduit à un seul monôme, donc il admet une racine complexe non nulle.
c) On applique le lemme de Rouché à fixé avec et choisi de sorte que si . Un tel choix est possible puisque a un nombre fini de racines. Par continuité et compacité, il existe tels que et pour tout tel que et tout tel que . Ainsi, pour , on a bien .
18) a) Sinon on peut appliquer 17c) avec réel non nul et .
b) On pose et . Alors et donc on a les décompositions :
En simplifiant par et en prenant , il vient: , ce qui prouve que l'ensemble des racines de est invariant par la transformation . Il s'agit d'un ensemble de réels non tous nuls ; ceci impose , soit et comme est un diviseur de 2 .
c) Même méthode avec la transformation et soit . On obtient alors que l'ensemble des racines de est stable par multiplication par , puis que , d'où .
d) En reprenant les notations de 17a), on a ( donc , soit .
19) a) .
On a et à fixé (soit à fixé), les racines de sont toutes réelles. Donc la multiplicité de comme racine de est majorée par celle de comme racine de . La première multiplicité est le nombre de tels que , d'après la factorisation ; la deuxième est par définition.
b) On a toujours surjective (la démonstration vue en III-11) n'utilisait pas l'hypothèse de stricte hyperbolicité). De plus, d'après la question précédente, la somme des multiplicités des racines réelles de est supérieure ou égale au nombre total de racines pour l'ensemble des , donc supérieure ou égale au nombre de , soit . Ainsi est scindé sur .

V L'inégalité de Gårding sur le cône

  1. a) termes de degré . La somme des racines de ce polynôme en est .
    b) . On obtient l'inégalité demandée en supposant , ou ce qui est équivalent, . Il y a ici une erreur d'énoncé.
  2. C'est une conséquence de I-6) car a .
  3. Pour il y a égalité.
Si l'inégalité est vraie au degré , on l'applique au polynôme en supposant :
  • donc ;
  • .
Il vient :
  1. a) On a avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz : . Il reste donc à prouver que pour réels positifs avec et , on a .
    Une élévation au carré résout trivialement la question, mais le correcteur tient certainement à que l'on applique plutôt l'inégalité de la question précédente.
On considère donc la forme bilinéaire symétrique sur définie par . La forme quadratique associée est définie par , polynôme hyperbolique dans la direction de .
a ses racines strictement positives , donc les vecteurs et appartiennent à et , et
b) Ici aussi, on obtient trivialement cette inégalité en appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à la quantité , et on va présenter une solution plus compliquée mais plus dans l'esprit du sujet.
Posons pour où désigne la matrice ayant pour lignes. On a bien une forme d -linéaire symétrique, et le polynôme associé à est défini par . Il est hyperbolique dans la direction avec , et est l'ensemble des vecteurs à coordonnées strictement positives. Ainsi, lorsque toutes les coordonnées des vecteurs sont strictement positives, on a
Si les vecteurs sont à coordonnées positives ou nulles mais non toutes strictement positives, le produit de droite est nul et l'inégalité est encore vraie.

VI Concavité de sur le cône

  1. On suppose toujours . On a :
Ensuite, pour et :
ce qui prouve la concavité de .
25) On prend det et . est l'ensemble des matrices symétriques à valeurs propres strictement positives ; c'est l'ensemble des matrices symétriques définies positives.

VII Inégalités de Weyl

  1. Si alors donc et on contredit la croissance de vue en III-14).
  2. Si est colinéaire à : alors et . Comme , on a aussi , soit . Ce cas est donc impossible dans la situation envisagée. Ainsi, par stricte hyperbolicité, les nombres sont distincts. On choisit strictement compris entre et (ou si ) et on pose . Avec ce choix, a le signe voulu en fonction de r . De plus,
On règle pour que cette dernière somme soit strictement négative.
28) On a vu en III-11) : et . Donc a des limites infinies en dont les signes dépendent des positions de par rapport à et à . De plus, et donc on peut comparer et à en fonction des positions de par rapport à et à . Il y a ainsi seize cas à considérer :
-
-
+ -
+ -
+
+
-
-
+ -
+ -
+
+
Dans les colonnes 0 et 1 , on a noté + pour , - pour et rien si l'on ne connaît pas la position de par rapport à . La dernière colonne donne le minorant demandé.
29) a) Le nombre de racines est minoré par le nombre de couples ( ) tels que d'après IV-19a). On doit donc calculer card tq . En écrivant les seize cas du tableau précédent sous forme d'intersections d'intervalles et en regroupant les intersections ayant des facteurs en commun, il vient:
On divise le 3 en et on regroupe... cela donne le minorant de l'énoncé.
b) On a donc . Ainsi le deuxième cardinal de la formule précédente est nul. Le troisième l'est aussi car . Le quatrième se simplifie car .
30) On utilise pour et on distingue les cas .
31) Le nombre de racines ne peut dépasser d. La situation envisagée est donc impossible, d'où
en supposant . Lorsque , on peut permuter et .
32) Je ne sais pas.
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