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ENS Mathématiques D MP 2012

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractions
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X-ENS
Année
2012
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2012MP MathsMaths 2012
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ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - D - (U)
(Durée : 6 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le sujet à traiter ci-après comprend 7 pages numérotées de 1 à 7 .

Notations

On note l'ensemble des entiers naturels, l'anneau des entiers relatifs et le corps des nombres complexes. Si sont des entiers, on pose :
Étant donné un entier , on note l'algèbre des matrices carrées de taille à coefficients dans , on note le groupe des matrices de de déterminant non nul et le sous-groupe de formé des matrices de déterminant 1 .
On note l'algèbre des fonctions polynômiales de dans . Pour tout désigne la fonction . Pour tout , on pose . La famille est une base de comme -espace vectoriel.
Pour tout entier , on note l'ensemble des fonctions polynômiales homogènes d'ordre , c'est-à-dire des fonctions telles qu'on ait pour tout et tout .

I

Soit un entier .
  1. Montrer que est composé des fonctions constantes sur .
  2. Montrer que, pour tout , l'ensemble est un sous-espace vectoriel de dimension finie de , et calculer sa dimension en fonction de et .
  3. Montrer que est la somme directe des sous-espaces .
  4. Soit un entier , et soit une application linéaire de dans .
    4.a. Montrer que, pour tout , la fonction composée appartient à .
    4.b. Montrer que l'application est une application linéaire de dans , et que c'est un isomorphisme si et seulement si est un isomorphisme.

II

Dans cette partie, on note le -espace vectoriel des matrices symétriques de . Une fonction de dans est dite polynômiale si la fonction :
de dans est polynômiale. Pour toute matrice , on note la transposée de A.
  1. Soit inversible.
    1.a. Déterminer l'ensemble des matrices diagonales de de la forme AMA avec .
    1.b. Déterminer l'ensemble des matrices diagonales de de la forme AMA avec .
  2. Soit une fonction polynômiale de dans .
    2.a. Montrer que, pour tout , la fonction de dans définie par :
est polynômiale sur .
2.b. Montrer que la fonction de dans définie par :
est polynômiale sur .
3. Soit une fonction polynômiale de dans . Montrer que la fonction est polynômiale de dans et vérifie pour tout .
4. Montrer que toute fonction polynômiale de dans est continue sur .
5. Soit une fonction polynômiale de dans vérifiant pour tout . Montrer qu'il existe une unique fonction polynômiale de dans telle que .

III

Soit un entier . Un monôme de est un élément de la forme avec non nul et . Étant donnés et dans , on note :
si , et si le premier coefficient non nul de est strictement positif, c'est-à-dire si le plus petit entier tel que vérifie . On note si l'on a soit , soit .
  1. Montrer que est une relation d'ordre total sur .
  2. Montrer que toute partie finie non vide de possède un plus grand élément pour la relation d'ordre .
  3. Soient . Montrer que si et seulement si .
  4. Pour toute fonction non nulle, on note le plus grand pour la relation d'ordre tel que le coefficient de dans la base soit non nul, qu'on appelle le degré de . Montrer que, pour toutes non nulles, on a .
  5. Soit un entier et soient non nulles. Montrer qu'il existe vérifiant les deux conditions suivantes :
  6. ;
  7. si contient un monôme de degré , alors pour tout entier l'un des coefficients de est strictement négatif.
  8. Pour toute partie de , on note l'idéal de engendré par les , . Soit une partie de .
    6.a. Soit . Montrer que si et seulement s'il existe tel qu'on ait .
    6.b. Soit . Montrer que si et seulement si tous les monômes de appartiennent à .
    6.c. Montrer qu'il existe une partie finie de telle que .
  9. Soit I un idéal de . En considérant l'idéal engendré par les pour non nuls, montrer qu'il existe une partie finie F de I qui engendre I.
  10. Soit une suite d'éléments de , et soit I l'idéal de engendré par les . Montrer qu'il existe un entier tel que I soit engendré par .

IV

Soit un entier . On note l'espace des fonctions polynômiales de dans qui sont homogènes d'ordre . Pour chaque entier , on note la fonction polynômiale :
Les fonctions forment une base de . On identifiera à au moyen de cette base. Une fonction de dans sera donc dite polynômiale si la fonction :
de dans est polynômiale. On note l'algèbre des fonctions polynômiales de dans . Enfin, si et si :
on note la fonction de dans définie par :
  1. Soit .
    1.a. Montrer que l'application définit un endomorphisme linéaire de .
    1.b. Pour tout , on note la fonction de dans définie par :
Montrer que l'application définit un endomorphisme linéaire de .
2. Pour tout , on note le sous-espace de composé des fonctions homogènes d'ordre . Montrer que, pour tout , l'endomorphisme laisse stable chacun des sous-espaces .
3. Soient des entiers . On note le sous-espace de engendré par les avec tels que et . Montrer que est la somme directe des pour .
4. Pour tout , on note l'application linéaire de dans de dérivation par rapport à . On définit deux endomorphismes linéaires D et de par :
pour tout . Soient des entiers et .
4.a. Montrer qu'on a et .
4.b. Montrer que, pour tout , on a :
4.c. Pour tout entier , on note respectivement et les puissances -ièmes des endomorphismes D et . Montrer que, pour tout entier et tout , on a:
et :
4.d. On suppose que . Montrer que, pour tout , on a si et seulement si . (On pourra commencer par montrer que D et sont des endomorphismes nilpotents de .)
5. Soit un entier , et soit une fonction non nulle.
5.a. Montrer que pour toute matrice A de la forme :
si et seulement si est pair et .
5.b. Montrer que pour toute matrice A de la forme :
si et seulement si .
5.c. Montrer que pour toute matrice A de la forme :
si et seulement si .
6. On note l'ensemble des fonctions telles que pour tout .
6.a. Montrer que est à la fois un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de .
6.b. Montrer que est la somme directe des pour .
7. Soit un entier tel que soit de dimension .
7.a. Montrer que est pair et que est inclus dans .
7.b. Montrer que, pour tout et tout , on a .

V

Une fonction de dans est dite polynômiale si la fonction :
de dans est polynômiale. On note l'algèbre des fonctions polynômiales de dans . On note les endomorphismes de dérivation par rapport à respectivement, et on pose :
qui est un endomorphisme du -espace vectoriel .
  1. Soit et soit . On note F la fonction de dans définie par . Montrer que F est polynômiale et que, pour tout , on a :
  1. Soit et soit un entier . Pour tout , on définit une fonction de dans par :
2.a. Soit . Montrer que appartient à .
2.b. Montrer qu'il y a un entier tel que, pour tout , la fonction soit constante sur , où désigne la puissance -ième de l'endomorphisme .
2.c. Soit un entier tel que, pour tout , la fonction soit constante sur . Montrer que la fonction de dans définie par :
appartient à et vérifie pour tout .
3. Soit un entier et soit G la fonction de dans définie par . Calculer en fonction de .
4. Soit un entier , et soit . Montrer qu'il existe une fonction et des entiers tels que, pour tout , la fonction soit constante sur et de valeur .
5. Soit un entier , soient et soient tels que :
appartienne à . Montrer qu'il existe tels que .
6. Montrer qu'il existe un entier et des fonctions telles que, pour toute fonction , il existe telle que .

FIN

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