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ENS Mathématiques D MP MPI 2024

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Polynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)Algèbre généraleIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
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Année
2024
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
X-ENS MP/MPIX-ENS 2024MP/MPI MathsMaths 2024
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

JEUDI 18 AVRIL 2024
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve
MATHEMATIQUES D (U)

Le sujet comprend 10 pages, numérotées de 1 à 10.

Début de l'épreuve

Tout au long de ce sujet, la notation é indique que le symbole est défini comme étant égal à . Rappelons que la série numérique
converge, pour tout nombre réel , vers un nombre réel strictement positif que l'on note et que l'on appelle l'exponentielle de . L'application établit une bijection de dans qui satisfait à la relation : pour tous ,
Le but de ce sujet est de donner une preuve du résultat suivant, qui est un cas particulier du théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass :
Théorème 1. Soit un entier. Si sont des nombres rationnels distincts, alors les nombres réels sont linéairement indépendants sur .
Chemin faisant, nous établirons quelques propriétés de nature arithmétique des séries entières à coefficients rationnels qui sont solutions d'une équation différentielle.

A. Quelques conséquences

  1. Pour un nombre rationnel strictement positif , notons le seul nombre réel satisfaisant à . Déduire du théorème 1 que est irrationnel pour tout nombre rationnel strictement positif .
  2. Soit un nombre rationnel non nul. Déduire du théorème 1 que, pour tout polynôme non nul , on a .
On dit que le nombre est transcendant.

B. Séries entières et fractions rationnelles

Une série entière à coefficients rationnels est une suite de nombres rationnels. On munit l'ensemble des telles suites des opérations d'addition et de multiplication
L'élément neutre pour l'addition est la suite et l'élément neutre pour la multiplication est la suite . En pratique, plutôt que comme une suite on pensera à une série entière à coefficients rationnels comme une expression de la forme
On voit comme une variable "formelle", c'est-à-dire que l'on ne se soucie pas des propriétés de convergence (si l'on remplace par un nombre réel , la série numérique peut être convergente ou divergente). Avec cette notation, les opérations d'addition et multiplication de deux séries entières et deviennent
On écrit simplement 0 et 1 pour les éléments neutres pour l'addition et la multiplication. La dérivée d'une série entière comme ci-dessus est la série entière
L'opération de dériver une série entière est linéaire et satisfait à la règle de Leibniz
On note l'ensemble des séries entières à coefficients rationnels. On peut voir les polynômes à coefficients rationnels comme le sous-ensemble formé des séries entières telles qu'il existe un entier satisfaisant à pour tout .
3. Soit une série entière dont les coefficients sont des nombres entiers. Montrer que s'il existe un nombre réel tel que la série numérique converge, alors est un polynôme.
4. Soit un polynôme à coefficients rationnels dont 0 n'est pas racine. Montrer qu'il existe une unique série entière satisfaisant à .
Montrer que si est à coefficients entiers et que son terme constant vaut 1 ou -1 , alors cette unique série entière est à coefficients entiers.
Rappelons que désigne l'ensemble des fractions rationnelles avec et non nul. On considérera le sous-ensemble formé des fractions rationnelles avec , que l'on appellera fractions rationnelles à coefficients rationnels. Pour un nombre complexe et un polynôme non nul , posons
é
Soit une fraction rationnelle non nulle. On dit que est un pôle de si l'inégalité est satisfaite. L'entier s'appelle alors l'ordre du pôle. La fraction rationnelle nulle n'a pas de pôle.
5. Montrer que si 0 n'est pas un pôle de , alors il existe une unique série entière à coefficients rationnels telle que .
Montrer que l'application est compatible avec l'addition et la multiplication dans et dans , et qu'elle envoie la dérivée sur la série entière dérivée .
On dit que est le développement en série entière (parfois abrégé développement en série ou encore développement) de la fraction rationnelle et on écrit .
6. Soit un polynôme à coefficients rationnels de terme constant égal à 1 . Montrer qu'il existe un entier tel que soit à coefficients entiers.
On dit qu'une série entière est globalement bornée s'il existe des entiers tels que
é
soit une série entière à coefficients entiers.
7. Montrer que si est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels, alors est globalement bornée.
8. Montrer que la série entière
où si est le carré d'un entier et autrement, n'est pas le développement en série entière d'une fraction rationnelle.
On définit la primitive d'une série entière comme la série entière
é
  1. Donner un exemple d'un développement en série entière d'une fraction rationnelle dont la primitive n'est pas le développement d'une fraction rationnelle.
  2. (Question plus difficile) Soit le développement en série entière d'une fraction rationnelle dont tous les pôles sont des nombres rationnels. Supposons que la primitive soit globalement bornée. Montrer que est alors le développement en série entière d'une fraction rationnelle dans .

C. Séries entières et opérateurs différentiels

Dans ce qui suit, on appelera opérateur différentiel (sous-entendu : à coefficients polynomiaux à coefficients rationnels) toute expression de la forme
où est un entier et sont des polynômes à coefficients rationnels. Si n'est pas nul, on dit que est d'ordre . Un tel opérateur différentiel agit sur une série entière par la formule
où désigne la dérivée ème d'une série entière.
11. Montrer l'égalité : pour tous et ,
On dit qu'une série entière est solution d'une équation différentielle (d'ordre ) s'il existe un opérateur différentiel non nul (d'ordre ) comme ci-dessus tel que .
12. Montrer que le développement en série entière de toute fraction rationnelle à coefficients rationnels est solution d'une équation différentielle d'ordre 1.
13. Montrer qu'une série entière est solution d'une équation différentielle si et seulement s'il existe un entier et des polynômes non tous nuls tels que : pour tout ,
  1. Donner une nouvelle preuve, basée sur les questions 12 et 13 ci-dessus, du fait que la série entière n'est pas le développement d'une fraction rationnelle.
  2. Montrer que la série entière
est solution d'une équation différentielle, puis en expliciter une.
16. Montrer que ci-dessus est à coefficients entiers.
17. Montrer qu'une série entière est solution d'une équation différentielle si et seulement si sa transformée de Laplace
é
est solution d'une équation différentielle.

D. Stratégie de la démonstration du théorème 1

Soient un entier et des rationnels distincts. Soient des rationnels non nuls. Posons é et considérons la série entière
é
  1. Montrer que la transformée de Laplace est le développement en série entière de la fraction rationnelle
En déduire que n'est pas la série entière nulle.
Considérons la suite définie en termes des coefficients par la formule
et la série entière
  1. Montrer l'égalité des séries entières
  1. Montrer que l'opérateur différentiel agit sur par
  1. En déduire que si est le développement en série d'une fraction rationnelle , alors tout élément de l'ensemble non vide est un pôle de .
  2. Montrer que n'est pas le développement en série d'une fraction rationnelle.
Nous avons ainsi réduit la démonstration du théorème 1 à celle de la proposition suivante, qui fera l'objet des parties E et F du sujet.
Proposition 1. Si , alors la série entière est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à coefficients rationnels.
On appelle polynôme exponentiel toute série entière à coefficients rationnels de la forme
où sont des rationnels et sont des polynômes.
23. Montrer que le théorème 1 est équivalent à l'énoncé suivant :
Soit un polynôme exponentiel tel que s'annule. Alors est encore un polynôme exponentiel.

E. L'arithmétique des coefficients

Rappelons l'hypothèse de la proposition 1 . Quitte à remplacer le polynôme exponentiel par un multiple entier, on peut supposer sans perte de généralité que les coefficients sont des entiers.
On fait cette hypothèse dorénavant.
Définissons des nombres rationnels par la formule
  1. Montrer l'égalité : pour tout ,
Soit un dénominateur commun des nombres rationnels et soit
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer qu'il existe un nombre réel tel que : pour tout ,
Pour tous entiers , définissons le nombre rationnel comme le coefficient en degré de la série entière
  1. Montrer que est le développement en série entière d'une fraction rationnelle si et seulement s'il existe un entier tel que soit un polynôme.
  2. Observer l'égalité : pour tous et ,
Posons .
29. Montrer que et qu'il existe un nombre réel tel que
  1. Soit un entier. Montrer qu'il existe un polynôme de degré satisfaisant à
  1. Définissons deux suites et par les formules
Montrer l'égalité pour tous et tels que .
32. En déduire que divise pour tous et tels que .
33. Montrer l'égalité

F. Démonstration de la proposition 1

Dans cette partie, nous démontrons la proposition 1 , concluant ainsi la démonstration du théorème 1 . Il nous suffira de prouver qu'il existe un entier tel que la série entière
soit un polynôme (d'après la question 27 ).
34. Montrer que si n'est pas nul et , alors
  1. En déduire qu'il existe un entier tel que
  1. Conclure que pour tout .
Le théorème est démontré !

G. Fonction

Dans cette dernière partie, on présente une généralisation à une classe plus large de séries entières à coefficients rationnels de l'énoncé de la question 23 , à savoir le fait que le quotient par d'un polynôme exponentiel s'annulant en 1 est encore un polynôme exponentiel. Une fonction (sous-entendu : à coefficients rationnels) est une série entière
satisfaisant aux conditions suivantes :
(a) est solution d'une équation différentielle;
(b) il existe un nombre réel tel que
où dén désigne le plus petit entier tel que soient des entiers ( le dénominateur commun de ).
Les polynômes à coefficients rationnels sont des exemples "triviaux" de fonctions . Rappelons que désigne la transformée de Laplace introduite dans la question 17.
37. Montrer que si est une fonction , alors la série numérique converge pour tout nombre réel . On note sa valeur.
38. Soit une fonction qui n'est pas un polynôme. Montrer qu'il existe tel que la série numérique diverge pour tout nombre réel avec .
39. Quelles sont les fonctions telles que est aussi une fonction ?
40. Démontrer que les fonctions sont stables par addition et multiplication.
41. Soit un polynôme exponentiel. Montrer que est une fonction telle que est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à pôles rationnels.
42. Montrer que si est le développement en série entière d'une fraction rationnelle à pôles rationnels, alors est une fonction .
43. Montrer que la fonction de Bessel
é
est une fonction telle que satisfait à l'équation . En déduire que n'est pas un polynôme exponentiel.
44. Montrer que les zéros réels de la fonction de Bessel sont simples, c'est-à-dire si , alors .
45. Soit une fonction telle que . Montrer que la série entière est encore une fonction .
Ce dernier résultat est l'un des ingrédients sur lesquels repose la méthode mise en place par Y. André à la fin des années 90 pour démontrer le théorème de Siegel-Shidlovskii. Il s'agit d'un énoncé de transcendance pour les valeurs des fonctions en des nombres rationnels, qui généralise le théorème d'Hermite-Lindemann-Weierstrass et implique, par exemple, que le nombre est transcendant pour tout rationnel non nul .

Fin du sujet

  1. suivant l'article An Alternative Proof of the Lindemann-Weierstrass Theorem de F. Beukers, J. P. Bézivin et P. Robba (Amer. Math. Monthly 97 (1990), 193-197).
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