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ENS Mathématiques D MP MPI 2023

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Algèbre généralePolynômes et fractionsAlgèbre linéaire
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X-ENS
Année
2023
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
X-ENS MP/MPIX-ENS 2023MP/MPI MathsMaths 2023
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

JEUDI 20 AVRIL 2023 08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve n

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 6 pages, numérotées de 1 à 6 .

Début de l'épreuve.

Notations et conventions :

Soit un anneau commutatif dont on note 1 l'élément unité. Par convention, on pose pour tout de . On rappelle que est dit intègre s'il n'est pas réduit à et si l'égalité avec implique ou . Tout anneau intègre est un sous-anneau de son corps des fractions Frac .
On note l'anneau (dont on supposera connu qu'il est intègre) des polynômes en indéterminées à coefficients entiers. Un tel polynôme s'écrit par définition de manière unique comme une somme finie de monômes de la forme avec (où les multi-indices sont deux à deux distincts) ce qui permet pour tout anneau commutatif et tout élément de définir une fonction ( ) de dans .
Si est un anneau commutatif et des entiers strictement positifs, on note le groupe additif des matrices à coefficients dans possédant lignes et colonnes et pour tout entier , on note l'anneau des matrices carrées de taille à coefficients dans . On note la matrice identité de . Soit , on note la transposée de la comatrice de . On rappelle que si est un corps, on a :
et également dans ce cas pour toutes matrices de . Si est un espace vectoriel sur un corps commutatif , on note le dual de ; pour tout sous-espace vectoriel de , on note le sous-espace de constitué des vecteurs tels que pour tout de .
Soit un groupe abélion. On dit que a la propriété s'il existe une partie finie de telle que engendre le groupe . Si est un anneau, on dit qu'il a la propriété ( F ) si son groupe additif ( ) a cette proprićté.
Soient un anneau commutatif et une partie de . On note l'ensemble des éléments de qui s'écrivent comme un polynôme à coefficients entiers en des éléments de , c'est-à-dire des tels qu'il existe un entier , des éléments de , et un polynôme tels que . L'ensemble est un sous-anneau de (on ne demande
pas de le vérifier). On dit qu'un anneau commutatif a la propriété ( ) s'il existe une partie finie de telle que .
Le but général du problème est d'étudier des propriétés de finitude dans les groupes abéliens et les anneaux commutatifs qui étendent la notion d'espace vectoriel de dimension finie (parties I et II), puis d'en déduire des applications aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque (parties III et IV). La partie V (indépendante des autres) détermine la dimension maximale de sous-espaces de matrices dont tous les éléments sont de "petit" rang.
Les diverses parties du problème sont très largement indépendantes les unes des autres; il est autorisé d'admettre le résultat d'une question pour résoudre une question ultérieure.

Partic I : Exemples et contre-exemples pour les propriétés (F) et (TF)

  1. Soit un anneau commutatif. Montrer que si a la propriété (F), alors il a la proprićté (TF).
  2. Soit un anneau commutatif. Soient et deux parties de telles que . Montrer que .
  3. Montrer que tout groupe abélien fini et le groupe additif pour ont la propriété (F).
  4. Montrer que si est un entier strictement positif, l'anneau a la propriété (TF), mais pas la propriété (F).
  5. Montrer que l'anneau des nombres rationnels n'a pas la propriété (TF).

Partie II : Comportement des propriétés (F) et (TF) vis à vis des morphismes

  1. Soit un morphisme d'anneaux commutatifs. Soit un élément de . Montrer qu'on a pour tous .
  2. Soit un anneau commutatif. Soient un entier strictement positif et des éléments de .
    a) Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux de dans tel que pour tout .
    b) En déduire que a la propriété (TF) si et seuloment s'il existe un entier et un morphisme surjectif d'anneaux .
    c) Montrer qu'un groupe abélien a la propriété (F) si et seulement s'il existe un entier et un morphisme surjectif de groupes .
    d) Soient et des anneaux commutatifs tels qu'il existe un morphisme surjectif d'anneaux de vers . Montrer que si a la propriété (TF), alors il en va de même de . Énoncer et démontrer un énoncé analogue pour la propriété (F).
  3. Soit un sous-groupe additif de avec (on convient que est le groupe trivial). On se propose de démontrer par récurrence sur le résultat suivant :
    Il existe tel que le groupe abélien soit isomorphe à .
    a) Vérifier les cas et . On suppose maintenant le résultat vrai pour . Soit la projection sur la première coordonnée, on note le noyau de et , puis on pose avec . On choisit tel que . Montrer que si , alors l'application
est un isomorphisme de groupes.
b) En déduire (*).
c) Montrer que l'entier tel que soit isomorphe à est unique (on pourra considérer le rang d'une famille de vecteurs de dans le -espace vectoriel ).
4. Montrer que si un groupe abélien a la propriété (F), alors tout sous-groupe de l'a également.
5. On considère l'anneau . Soit l'ensemble des éléments de de la forme avec , on pose . Soit une partie finie de .
a) Montrer qu'il existe tel que .
b) Montrer qu'il existe un entier tel que tout élément de soit somme de monômes de la forme avec et .
c) En déduire que l'anneau n'a pas la propriété (TF).

Partie III : Déterminants sur un anneau commutatif

Dans toute cette partie, on désigne par un anneau commutatif. On note le groupe multiplicatif des éléments inversibles de .
  1. Soit un sous-ensemble fini de . Montrer qu'il existe un sousanneau de tel que : a la propriété (TF) et pour toute matrice , tous les coefficients de appartiennent à .
  2. Soit une matrice de . Le but de cette question est de généraliser à l'anneau commutatif quelconque les deux formules rappelées dans l'introduction quand est un corps.
    a) Montrer que si l'anneau est intègre, alors .
    b) On ne suppose plus intègre. Montrer que le résultat de a) est encore vrai s'il existe un morphisme surjectif d'anneaux avec intègre.
    c) En déduire que le résultat de a) vaut encore pour tout anneau commutatif .
    d) Démontrer que si et sont dans , alors on a
  1. Soient et des entiers strictement positifs. Soit . On considère l'application définie par , où on identifie les éléments de et à des vecteurs-colonne. On suppose que est surjective et que l'anneau n'est pas réduit à . Le but de cette question est de démontrer qu'on a alors . Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant .
    a) Montrer qu'il existe une matrice telle que .
    b) On définit des matrices de par blocs :
Autrement dit, est la matrice obtenue en ajoutant colonnes nulles à et est la matrice obtenue en ajoutant lignes nulles à . Calculer .
c) Aboutir à une contradiction et conclure.
d) On suppose que . Montrer l'équivalence des propriétés suivantes :
i) L'application est surjective ;
ii) Le déterminant appartient à ;
iii) Il existe telle que .
iv) L'application est bijective.

Partie IV : Équivalence de matrices de et

Dans toute cette partie, on désigne par et des entiers strictement positifs. Soit un anneau commutatif non réduit à . On note l'ensemble des matrices de qui vérifient les propriétés équivalentes de la question II.3.d).
  1. a) Montrer que la multiplication des matrices induit une structure de groupe sur .
    b) On définit une relation sur par si et seulement s'il existe et telles que . Montrer que c'est une relation d'équivalence.
On dit que deux matrices et de sont -équivalentes si . Si et est un entier au plus égal à , on note le pged des mineurs de taille de .
2. Soient et deux matrices -équivalentes de . Montrer que pour tout , on a (on pourra commencer par montrer que divise ).
3. On concidère deux matrices de qui sont -équivalentes. Sontclles toujours -équivalentes?

Partie V : Sous-espaces de constitués de matrices de petit rang

Soient et des entiers strictement positifs avec . On considère un sous-espace du C -espace vectoriel . Dans toute la suite, on fait l'hypothèse suivante : tout élément de est une matrice de rang au plus .
Le but de cette partie est de démontrer qu'on a alors l'inégalité :
  1. Montrer qu'on peut supposer que contient la matrice-bloc:
Dans toute la suite, on fera cette hypothèse.
2. a) Soit un élément de , qu'on écrit sous la forme d'une matricebloc:
où les quatre matrices sont respectivement dans , et . Montrer que et (on pourra considérer les mineurs de taille de la matrice pour .
b) Soient et deux matrices de , qu'on écrit sous forme de matricesbloc comme ci-dessus :
Montrer que .
3. On note l'intersection de avec le sous-espace de constituć des matrices-bloc de la forme
On définit une application linéaire de dans par
(avec les notations de V. 2 a)).
a) On écrit toute matrice de sous forme d'une matrice bloc avec et . Soit l'application linéaire de dans qui envoie sur la forme linéaire . Soit . En utilisant l'application , montrer que .
b) En déduire que .
4. a) Soient des entiers strictement positifs tels que . Montrer que si est un sous-espace de tel que tout élément de soit une matrice de rang au plus , alors .
b) Donner un exemple de sous-espace de vérifiant et tel que tout élément de soit une matrice de rang au plus .

Fin du sujet.

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