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ENS Mathématiques C MP 2020

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesGéométrie
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2020
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Maths
X-ENS MPX-ENS 2020MP MathsMaths 2020
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

VENDREDI 24 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve MATHEMATIQUES C

(ULCR)

Durée : 4 heures

Le sujet comprend 6 pages numérotées de 1 à 6 .

L'objet de ce problème est la minimisation sur un sous-domaine d'une fonction définie sur . Nous proposons plusieurs approches pour trouver des conditions nécessaires d'optimalité, et obtenir des approximations des minimiseurs de dans des cas particuliers.
Les dépendances entre les parties du problème sont données par le schéma suivant :

Notations et définitions

Pour tout entier , on désignera le produit scalaire usuel sur par , et la norme euclidienne sur par .
Dans tout le sujet, on se place sur , où .
  • On dit qu'une fonction est convexe si pour tous et tout ,
  • On dit qu'une fonction est coercive si , autrement dit :

I - Préliminaires

Fonctions convexes

I.1. On considère une fonction .
a. Pour tous , soit la fonction définie par pour tout . Montrer que est convexe si et seulement si pour tous est convexe.
b. On suppose que est différentiable sur . Montrer que pour tous , la fonction est dérivable, et montrer que pour tout .
c. En déduire que si est différentiable sur , alors est convexe si et seulement si pour tous ,
. Montrer que si est différentiable sur , alors est convexe si et seulement si pour tous ,
I.2. Soient une fonction convexe et différentiable sur , et . Montrer que si alors admet un minimum global en .
Définition. Soit . On dit qu'une fonction différentiable sur est -convexe si pour tous ,
I.3. On considère un réel et une fonction différentiable sur .
a. On considère la fonction définie par pour tout . Calculer pour tout , et montrer que est -convexe si et seulement est convexe.
b. En déduire que est -convexe si et seulement si pour tous ,

Fonctions coercives

I.4. Soit une fonction continue et coercive. Montrer que si est un fermé non vide de , alors il existe tel que .
I.5. Soit une fonction différentiable sur et -convexe, où . Montrer que si est un convexe fermé non vide de , alors admet un unique minimum sur .

Projection sur un convexe fermé

I.6. Soient un convexe fermé non vide de et .
a. Montrer qu'il existe un unique point tel que .
b. Soit . Montrer que si et seulement si
Indication : on pourra considérer la fonction , où .
c. En déduire que si , alors .

Une première condition nécessaire d'optimalité

Soit . On dit qu'un vecteur est -admissible au point s'il existe
  • une suite de réels strictement positifs vérifiant ,
  • une suite de vecteurs de vérifiant ,
    telles que pour tout ,
On appelle cône -admissible au point l'ensemble
I.7. Décrire dans le cas où est dans l'intérieur de .
I.8. Montrer que si est différentiable en et admet un minimum local sur en , alors
Qu'exprime ce résultat dans le cas particulier où est dans l'intérieur de ?

II - Pénalisation

Dans le but d'approcher un minimum d'une fonction sur , on cherche à se ramener à la minimisation d'une fonction sur tout entier. Pour ce faire, on propose d'ajouter à un terme de "pénalisation", qui prend de grandes valeurs en dehors de , et de minimiser la nouvelle fonction pénalisée sur tout entier. Cette partie a pour but de justifier cette approche dans un cas particulier.
Dans toute cette partie, on considère une fonction différentiable sur et -convexe, où . On pose
où et sont des fonctions convexes de dans , différentiables sur . On suppose de plus que l'ensemble est non vide.
II.1. Montrer qu'il existe un unique élément tel que .
Pour tout , on introduit la fonction définie par
où est la fonction définie par pour tout .
II.2. Pour tout , calculer .
II.3. Montrer que pour tout , il existe un unique tel que . Indication : on pourra commencer par montrer que si est une fonction convexe, et est une fonction convexe croissante, alors est convexe.
II.4. Montrer que pour tout .
II.5. On considère une sous-suite de qui converge vers .
a. Montrer que .
b. En déduire que .
II.6. En déduire que la suite converge vers .
II.7. Montrer que la suite converge vers .

III - Théorème de Karush-Kuhn-Tucker

Le but de cette partie est d'établir une condition nécessaire d'optimalité dans le cas où le domaine est décrit par des contraintes de type inégalité.

Lemme de Farkas

Soient et une famille de vecteurs de . On note
On cherche à démontrer le résultat suivant.
Lemme 1. Si , alors une et une seule des deux assertions suivantes est vérifiée :
(i) ,
(ii) il existe tel que et pour tout .
III.1. Le but de cette question est de montrer que est un convexe fermé de .
a. Montrer que est convexe.
b. Montrer que si est une famille libre, alors est fermé.
c. Pour tout , on pose . Montrer que
où l'union est prise sur les ensembles tels que est une famille libre. En déduire que est fermé.
III.2. On considère un vecteur .
a. Montrer que .
. On pose . Montrer que et pour tout .
III.3. Conclure la preuve du lemme 1.

Condition nécessaire D'optimalité

Soit . Dans toute la suite de cette partie, on suppose que sont des fonctions de dans différentiables sur , et que
est non vide. Pour tout , on note
III.4. Montrer que pour tout ,
III.5. On considère et on fait l'hypothèse suivante :
Montrer que .
III.6. Montrer que si est tel que forme une famille libre, alors l'hypothèse est vérifiée.
III.7. On suppose que atteint en un minimum local sur , et que l'hypothèse est vérifiée. Montrer qu'il existe des réels positifs tels que
III.8. On suppose dans cette question que les fonctions sont convexes. Soient et tels que (1) soit vérifié. Montrer que admet en un minimum global sur .

IV - Étude DU PROBLÈME DUAL

Le but de cette partie est d'aborder la minimisation d'une fonction sur un sous-domaine de en considérant le problème "dual" associé. Dans un cas particulier, on propose une approche basée sur l'étude du problème dual pour obtenir une approximation du minimum de sur .
Soit . On suppose dans toute cette partie que sont des fonctions de dans différentiables. On fait l'hypothèse supplémentaire que est -convexe pour un certain , et que les fonctions sont convexes. On suppose par ailleurs que
est non vide. Dans toute la suite, on note pour tout .
On introduit la fonction définie par
pour tout et tout . On s'intéresse au problème : trouver tel que
IV.1. Montrer que .
IV.2. Montrer que pour tout , il existe un unique vérifiant .
Pour tout , on note . On va s'intéresser au problème dit dual : trouver tel que
On dit que est un point selle de si
IV.3. On suppose dans cette question que est un point selle de .
. Montrer que est solution de .
. Montrer que est solution de ( ).
c. Montrer que .
IV.4. On considère une solution de satisfaisant l'hypothèse . Soit comme dans la question III.7. Montrer que est solution de .
IV.5. On suppose dans toute cette question que la fonction est continue. On considère une solution de .
a. Soient et tels que . Montrer que pour tout , et
En déduire que pour tout .
. Montrer que est solution de .
IV.6. (Théorème d'Uzawa). Soient une matrice de rang et . On suppose que la fonction est de la forme
a. Montrer que pour tout , et en déduire que la fonction est continue sur .
b. Montrer que ( ) admet une unique solution , et que ( ) admet une unique solution .
Soit . On définit la suite par récurrence de la manière suivante :
  • on fixe ,
  • pour tout , on pose ,
    où désigne la projection sur le convexe fermé de .
    c. Montrer que .
On suppose désormais que pour tout .
d. Montrer que la suite converge vers .
e. Montrer que la suite converge vers .
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