Les parties I et II sont indépendantes.

Dans cette partie, est un ensemble fini ou dénombrable. L'ensemble des probabilités sur est l'ensemble

Une matrice de transition sur est une application telle que pour tout , on a

Le produit de deux matrices de transition et est défini par

On notera la matrice de transition définie par
1.1. (a) Vérifier que si et sont des matrices de transition, est aussi une matrice de transition.
(b) Vérifier que si et sont des matrices de transition, on a .
(c) Pour tout entier et toute matrice de transition , on définit par et la relation de récurrence si . Vérifier que est bien une matrice de transition.

Étant données , une matrice de transition et des fonctions bornées et , on définit les nombres réels suivants

1.2. Soit , soient et des matrices de transition et soit une fonction bornée.
(a) Montrer que et que .
(b) Montrer que est une fonction bornée et que .
(c) Montrer que .

Une matrice de transition sera dite réversible par rapport à un élément de si pour tout , on a

Une matrice de transition sera dite irréductible si pour tout , il existe un entier tel que .

On se donne, sur un espace probabilisé , une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées, et une variable aléatoire à valeurs dans , indépendante de la suite . On se donne une fonction et on définit une suite de variables aléatoires à valeurs dans en posant, pour tout entier ,

La loi de est notée . On rappelle que c'est l'élément de défini par pour tout .

L'espérance d'une variable aléatoire réelle bornée sera notée .
Pour tout , on pose .
1.3. (a) Vérifier que est une matrice de transition et que, pour tout entier et tout , on a

(b) Montrer que pour tout entier et tout tel que , on a, pour tout ,

(c) Montrer que pour tout , on a et que si , alors pour tout .
(d) Montrer que pour tout et tout tel que , on a

(e) Montrer que pour toute fonction bornée, on a

À partir de maintenant, on supposera que

1.5. (a) Montrer que pour tout , la matrice de transition est réversible par rapport à .
(b) Soit et soit . Montrer que si , on a et .
(c) Montrer que pour tout .
(d) Montrer que est irréductible.
1.6. Pour toute fonction bornée et tout entier , on pose

(a) Montrer que .
(b) Montrer que si , la fonction est est constante.
(c) Soit un élément de tel que . En posant , montrer que , puis que .

À partir de maintenant, on supposera également qu'il existe un élément de tel que .
1.7. (a) Montrer que pour tous entiers positifs , on a et

(b) Montrer que est irréductible. On rappelle (cf. la question 5(a)) que est réversible par rapport à .
(c) Montrer que si une fonction bornée vérifie , alors pour tout .
1.8. Dans cette question, on prend , où est un entier. Une fonction peut être alors vue comme un élément de .
(a) Montrer que définit un produit scalaire sur . On note la norme associée.
(b) Montrer que l'application est un endomorphisme de symétrique pour le produit scalaire .
(c) Montrer que si est une valeur propre de , alors est réelle et vérifie .
(d) On note le vecteur de dont toutes les composantes valent 1 . Montrer que est un vecteur propre de associé à la valeur propre 1, qui est une valeur propre de multiplicité 1 pour .
(e) Montrer qu'il existe tel que, pour tout et toute fonction , on a

(f) En déduire qu'il existe une constante telle que

Pour tout , on note la fonction définie par

On admettra que pour tout , on a .
On note (respectivement ) l'espace vectoriel des fonctions continues telles que (respectivement, telles que .

Lorsqu'il est bien défini, le produit de convolution de deux fonctions continues et est la fonction définie par

Pour , on pose

Si est dérivable, on note sa dérivée et, si est fois dérivable, on note la dérivée -ième de , définie par la relation de récurrence . On utilisera aussi les notations et .

Si on se donne pour tout , une fonction et si pour , l'application est dérivable, on notera sa dérivée .

2.1. Soit . Si ou si , vérifier que l'application est bien définie et que l'on a alors .
2.2. Montrer que pour tout et tout , on a .
2.3. Montrer que pour tout et tout , on a

2.4. Pour , on pose et si .
[Dans cette question, on pourra utiliser le changement de variable .]
(a) Montrer que et que l'application est continue sur .
(b) Montrer que si , alors et, pour tout , on a .
2.5. Montrer que pour tout entier , il existe une constante telle que, pour tout et tout , on a la majoration

2.6. Soit .
(a) Vérifier que pour tout , l'application est infiniment dérivable et que, pour tout , l'application est dérivable en tout .
(b) Soit . Montrer que et que, pour tout entier , il existe une constante indépendante de et de telle que

(c) Montrer que pour tout , on a

Pour , on pose ainsi que, pour tout et tout ,

On pose également

3.1. Soit . Montrer que pour tout et tout , on a

3.2. Soit .
(a) Vérifier que, pour tout , l'application est infiniment dérivable et que, pour tout , l'application est dérivable en tout .
(b) Soit . Montrer que et que, pour tout entier , il existe une constante indépendante de et de telle que

(c) Montrer que pour tout , on a, pour tout ,

Pour toute fonction de classe et tout , on pose .
3.3. Soient et des fonctions bornées de classe telles que , et sont bornées. Après avoir vérifié que les intégrales sont convergentes, montrer l'égalité

3.4. Soit . Montrer que pour tout , on a

puis que, pour tout , on a .
3.5. Soit .
(a) Vérifier que l'intégrale double suivante est bien définie

(b) Montrer que .
3.6. Soit une fonction dérivable bornée telle que . Montrer l'égalité

3.7. Soit .
(a) Vérifier que les intégrales suivantes sont bien définies

(b) Montrer que .
3.8. Soit une fonction dérivable bornée telle que .
(a) Montrer que pour tout , on a

(b) Montrer l'inégalité

3.9. Soit .
(a) Montrer que si , on a

(b) Montrer que pour tout , on a