Pour tout , on notera la partie entière de , c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que . Pour tout sous-ensemble , on notera sa fonction caractéristique.
Pour tout , on notera le module de . On notera l'ensemble des suites de nombres complexes telles que .
On dira qu'une fonction continue est périodique de période si pour tout , on a . Dans ce problème, on supposera toujours que et on dira simplement qu'une fonction continue est périodique si pour tout , on a . On notera l'espace vectoriel de toutes les fonctions continues et périodiques muni de la norme définie par

Si est une fonction continue et périodique que l'on suppose de plus de classe sur , on notera pour tout , la dérivée -ième de qui appartient encore à l'espace . On rappelle qu'une suite de fonctions de converge uniformément vers lorsque .

Pour tout , on notera la fonction définie par

Soit une fonction . Pour tout , on définit , le -ième coefficient de Fourier de , par

Pour tous , on définit les fonctions et par

Le sujet est composé de cinq parties. Les résultats de la partie seront utilisés dans la partie II. Les résultats de la partie II seront utilisés dans les parties III et V. Les résultats de la partie III seront utilisés dans la partie IV.

Le but de cette partie est d'étabir des résultats préliminaires qui seront utiles dans la partie II.
(I.1) Soit une fonction continue telle que . Soit la fonction définie par pour tout . Montrer que .
(I.2) Montrer que toute fonction est uniformément continue sur .
(I.3) Soit une suite de nombres complexes qui converge vers . Montrer que la suite de nombres complexes definie par

converge aussi vers .

Le but de cette partie est de démontrer le Théorème de Fejér qui affirme que toute fonction est la limite uniforme de la suite de polynômes trigonométriques .
Pour tout , on définit la fonction par

(II.1) Soit . Montrer que

(II.2) Soient et . Montrer que

(II.3) Soit . Soient et .
(II.3.a) Montrer que

(II.3.b) En déduire que

(II.4) Théorème de Fejér. Soit .
(II.4.a) Montrer que pour tout , il existe tel que pour tout et tout , on a

(II.4.b) Montrer que pour tout , il existe une constante (qui dépend de et de ) telle que pour tout et pour tout , on a

(II.4.c) En déduire que la suite de fonctions converge uniformément vers .
(II.5) Soit une fonction que l'on suppose de plus de classe sur .
(II.5.a) Soient et . Établir une relation entre les coefficients de Fourier et .
(II.5.b) En déduire que .
(II.5.c) Montrer que la suite de fonctions converge uniformément vers .

Le but de cette partie est d'étudier l'équirépartition modulo 1 des suites de nombres réels.
Pour tout sous-ensemble fini , on notera le cardinal de l'ensemble . Pour tout entier , on notera simplement . Pour tout entier , toute suite de nombres réels et tout sous-ensemble non vide , on notera

On dira qu'une suite de nombres réels est équirépartie si pour tous , on a

(III.1) Montrer qu'une suite de nombres réels est équirépartie si et seulement pour tous , on a

(III.2) Soit . Pour tout entier , on notera

(III.2.a) Montrer que pour tout , il existe un entier tel que

(III.2.b) Soit une suite de nombres réels équirépartie. En déduire que

(III.3) On se propose de montrer la réciproque de la question III.2. Soit une suite de nombres réels qui vérifie ( ) pour toute fonction . Soient .
(III.3.a) Étant donné , en vous aidant d'un dessin, construire des fonctions telles que pour tout , on a

et

(III.3.b) En déduire que la suite est équirépartie.
(III.4) Soit une suite de nombres réels telle que pour tout , on a

Montrer que la suite est équirépartie.
(III.5) Soient et . Montrer que la suite est équirépartie.
(III.6) Soit et . Pour tout , on note la fonction définie par pour tout . Montrer que

Le but de cette partie est de démontrer le Théorème de Weyl qui affirme que pour tout polynôme de degré à coefficients réels tel que , la suite de nombres réels est équirépartie.
(IV.1) Inégalité de van der Corput. Soit une suite de nombres complexes tels que pour tout . Soient .
(IV.1.a) Montrer que

(IV.1.b) Montrer que

(IV.1.c) En écrivant

et en effectuant un changement de variables approprié, montrer que

(IV.1.d) En déduire que

(IV.2) Lemme de van der Corput. Soit une suite de nombres réels tels que pour tout , la suite de nombres réels est équirépartie. Montrer que la suite est équirépartie.
(IV.3) Démontrer le Théorème de Weyl en raisonnant par récurrence sur le degré .

Le but de cette partie est d'étudier l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels et les liens avec l'équirépartition.
On dira qu'un nombre réel est de Liouville si pour tout entier , il existe un couple tel que

On dira qu'un nombre réel est algébrique s'il existe un polynôme non constant tel que .
(V.1) Montrer qu'un nombre réel de Liouville est irrationnel.
(V.2) Théorème de Liouville.
(V.2.a) Soit tel qu'il existe un polynôme irréductible à coefficients entiers de degré tel que . Montrer qu'il existe une constante (qui dépend de ) telle que

(V.2.b) En déduire qu'un nombre réel algébrique sur n'est pas de Liouville.
(V.2.c) Montrer que le nombre réel

n'est pas algébrique.
(V.3) Équirépartition quantitative. Dans cette question, on prouve une version quantitative de la convergence de la question III.6.
Soit un nombre irrationnel qui n'est pas de Liouville. Soit une fonction que l'on suppose de plus de classe sur . Pour tout , on note la fonction définie par pour tout .
Montrer qu'il existe une constante (qui dépend de et de ) telle que

Indication : on pourra utiliser les résultats de la question II.4.