ENS Mathématiques C MP 2013

Commentaires

Les erreurs et imprécisions

1. Tout d'abord la question III. 1 est fausse telle quelle. Il me semble que la meilleure façon de la rectifier est de supposer les fonctions positives.
2. Pour la même raison, il serait bon de rectifier la question IV.2.i) en demandant à d'être à valeurs positives.
3. En IV.3.i), il serait tout aussi raisonnable de demander de vérifier que est à valeurs positives.
4. En V.1.ii) la notation n'a aucun sens puisque est une matrice dans et que ( ) est un vecteur ligne. Il faudrait préciser la notation qui n'est d'ailleurs utilisée qu'une seule fois.
5. Le théorème de Fubini admis ne permet pas de traiter directement la question V. 2 puisqu'on intègre sur a priori. Il aurait été plus raisonnable d'admettre un cas plus général.
6. Toujours en V. 2 je ne comprends pas à quoi sert l'hypothèse sur . En V. 3 on se sert de et en V. 4 on a besoin d'une fonction de deux variables. L'hypothèse est plus gênante qu'autre chose.
7. En V. 4 la variable n'est pas définie.
8. La question I. 1 mériterait d'être en préliminaire : elle est utile pour traiter la partie II.
9. En fait les parties I et II ne sont pas indépendantes. Outre la question I. 1 qui sert en partie II, la question I. 3 est une conséquence de la question II.3.
10. L'écriture sous forme d'opérateur, utilisée uniquement en I.2.i), de [ ] aurait pu être expliquée. Mais le plus grave est la confusion entre fonction et valeurs sans aucune mise en garde : est compris comme une fonction.
11. Il y a une virgule en trop après « lorsque » en question II.2.ii). D'une façon générale il y a peut-être trop de virgules.

Les points gênants

1. La connaissance du lemme de Gronwall avantageait les candidats puisqu'il s'agit de la question III.2. Il me semble que donner une indication aurait équilibré les chances de chacun(e).
2. La question III. 3 est calquée sur la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz donnée par le théorème du point fixe de Picard. Une fois encore les étudiant(e)s ayant vu la démonstration en cours étaient avantagé(e)s. Il me semble que donner des indications aurait permis d'équilibrer les chances de chacun(e).
3. L'interprétation géométrique et, avec elle, une notation plus commode pour ( seraient bienvenues. Par exemple

4. L'équation (3) est illisible. Il me semble que le numéro d'équation devrait au minimum se trouver à la fin de l'équation. Par ailleurs une notation pour et permettrait de tout faire tenir sur une ligne.
5. En partie IV, désigne un réel (a priori différent selon la question) et en partie V c'est une matrice triangulaire.
6. La définition de en fin de partie IV est maladroite.
7. Les partie IV et V sont très techniques et souffrent d'une absence de notations qui rend l'ensemble très lourd à manipuler. On pourrait au moins donner une notation pour les fonctions continues et bornées, voire même pour les fonctions telles que est continue et bornée. Nommer et toutes les fonctions intervenant permettrait aussi d'alléger les énoncés, tout comme les réponses.
8. La question V. 1 n'a pas vraiment d'intérêt et pourrait largement être admise. Son aspect technique n'apporte rien et il y a déjà de nombreuses questions techniques.
9. En V. 2 l'équation est illisible et pourrait tenir sur une seule ligne avec des notations adéquates.
10. En V. 4 l'apparition d'une valeur absolue est troublante, même si elle est correcte.

Les détails

1. La répétition des «On note . . . l'ensemble » en début de sujet n'est pas très heureuse.
2. La notation n'est utilisée qu'une fois : on pourrait s'en dispenser.
3. On n'a jamais besoin de matrices non inversibles. On pourrait noter .
4. La rédaction du sujet, bien que globalement compréhensible, pourrait être plus soignée. Quelques exemples :
   a) L'utilisation de parenthèses et de crochets de tailles adaptées faciliterait la lecture, par exemple via l'utilisation de \left et \right en .
   b) «On suppose dans cette partie que est ...». Le mélange langage/métalangage est incorrect.
   c) « est de classe ». Soit est de classe de dans , soit appartient à .
   d) L'écriture « » est incorrecte.
   e) L'écriture « » est incorrecte. Le mieux aurait sans doute été de redoubler le quantificateur universel.
   f) L'écriture «fonctions continues » est incorrecte.
   g) L'écriture « telles que pour des constantes données » est incorrecte, de même que «Soit , et ».
   h) Ceci conduit notamment à la phrase « pour et » où il n'est pas clair que est également un réel strictement positif.
   i) Les nombreuses parenthèses alourdissent la lecture et pourraient avantageusement être omises. Exemple : « la fonction (de dans ) définie par ».
   j) Il me parait inutile, quoique très courant, de rajouter des «que» avant les assertions à démontrer.
   k) L'usage de « Montrer », quoique très courant, est incorrect.
   l) La notation - pour les ensembles n'est pas très agréable.

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

I

1. Montrer que

2. i) Calculer (pour les quantités et .
   ii) En déduire qu'il existe tel que

II

1. Montrer que si , alors pour tout .
2. On suppose dans ce paragraphe que .
   i) Montrer que pour tout .
   ii) On considère la fonction (de dans ) définie par . Trouver une relation entre et , lorsque, .
   iii) Trouver une relation entre et pour , puis pour , et enfin pour .
3. Quelles sont les fonctions de ?

III

1. Soit , et une suite de fonctions de telles que pour tout , et

2. Soit , et des constantes, et une fonction de telle que

3. Soit des constantes, et une suite de fonctions de telles que pour tout , et

IV

1. i) Montrer que l'on peut trouver une unique suite de fonctions de dans telles que est continue et bornée, pour tout , et (pour tout )

3. i) Montrer que (pour tout )

V

1. i) Montrer que si est une matrice inversible telle que , il existe une matrice triangulaire supérieure inversible et une matrice triangulaire inférieure inversible telles que

2. Montrer que pour toute fonction de telle que est bornée, on a (pour

3. i) Calculer (pour la quantité en fonction de .
   ii) Montrer que (pour et ),

4. Dans cette question, on suppose qu'il existe , tels que