J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques C MP MPI 2024

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries et familles sommablesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2024
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
X-ENS MP/MPIX-ENS 2024MP/MPI MathsMaths 2024
2025_08_29_b2716b9dbcb957f63c5fg

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

VENDREDI 19 AVRIL 2024 08h00-12h00

FILIERES MP et MPI Epreuve n

MATHEMATIQUES C (ULSR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 7 pages numérotées de 1 à 7 .

- 0 -

Début de l'épreuve

Notations

Soit une partie de .
À toute suite à valeurs dans , ce que l'on note , on associe la suite des sommes partielles de Cesàro définie par
et la suite des écarts définie par
À toute série avec , on associe la suite des sommes partielles définie par
Si la série est convergente, on note sa somme définie par
et la suite des restes définie par
À toute série entière avec , de rayon de convergence , on associe sa somme définie sur par
Étant donné un intervalle de , on note
é

1 Lemme de Cesàro

Le but de cette partie est de démontrer le lemme de Cesàro, voir question 1, d'en proposer des applications et d'établir certaines variantes puis des réciproques partielles.
  1. Soit et . Démontrer que
Si est à valeurs réelles, démontrer que le résultat subsiste si ou .

Applications

  1. En utilisant (Cesàro), calculer la limite de la suite définie par . Puis, à l'aide d'une comparaison série-intégrale, donner un équivalent de .
  2. Soit et . On suppose que . En utilisant (Cesàro), donner un équivalent de . Retrouver ce résultat par un théorème de comparaison de séries à termes positifs.
  3. Soit et . On suppose que . Démontrer que . Démontrer que le résultat subsiste si ou . En déduire et .
  4. Soit et . On suppose que et . Démontrer que
  1. Soit et deux séries de nombres complexes, convergentes de sommes respectives et . On note la suite de terme général et la suite des sommes partielles associées définie par . Démontrer que

Réciproques partielles

  1. Vérifier que la réciproque de (Cesàro) n'est pas toujours vraie en exhibant une suite qui ne converge pas et telle que converge dans .
  2. Soit et . Démontrer que
Démontrer que le résultat subsiste pour ou .
9. Soit et . Démontrer que
Indication : on pourra démontrer que pour tout ,
  1. Soit et . Le but de cette question est de démontrer que
On suppose que et .
(a) Soit . Démontrer que
(b) En déduire qu'il existe une constante telle que pour tous , on a
et
(c) En déduire (Hardy fort). Indication : on pourra prendre avec un paramètre à choisir, où désigne la partie entière de .

2 Théorème d'Abel

Le but de cette partie est de démontrer le théorème d'Abel, voir question 1, d'en proposer des applications et d'établir certaines variantes et des réciproques partielles.
  1. Soit une série entière de rayon de convergence et de somme . On note
pour .
Le but de cette question est de démontrer que
(a) Démontrer (Abel) pour .
À partir de maintenant, on suppose que et que converge, et on se donne un .
(b) Démontrer que pour tous et , on a
(c) En déduire que pour tout , on a
(d) Soit . Démontrer qu'il existe tel que pour tout
(e) Démontrer qu'il existe tel que pour tout de la forme avec , on a
En déduire (Abel).
2. Démontrer que
  1. Exhiber une série entière de rayon de convergence 1 et de somme , telle que converge quand et telle que la série ne converge pas.
  2. Soit une série entière de rayon de convergence 1 et de somme . Soit . Le but de cette question est de démontrer que
é
Dans la suite de cette question on suppose que 𝟙 et que .
(a) Démontrer que pour tous et , on a
(b) En déduire (Taubérien faible) en spécifiant pour .
5. Soit une série entière de rayon de convergence 1 et de somme . Soit . Le but de cette question est de démontrer que
é
(a) Démontrer que, sans perte de généralité, on peut supposer que .
On suppose désormais que 𝟙 et que , avec .
(b) On définit de la manière suivante
Démontrer que est un espace vectoriel sur .
(c) Soit tel que . Démontrer que .
(d) Démontrer que
On définit la fonction par
(e) Démontrer que pour établir (Taubérien fort), il suffit de démontrer que .
(f) Soit
Étant donné , démontrer qu'il existe vérifiant
Représenter graphiquement et deux telles fonctions .
À partir de maintenant, et sont fixés.
(g) Démontrer qu'il existe tels que
On pose, pour tout ,
(h) Démontrer que
(i) Démontrer qu'il existe tel que pour tout ,
(j) Conclure.

3 Variantes continues du lemme de Cesàro et du théorème d'Abel

Le but de cette partie est d'étudier des versions continues du lemme de Cesàro, du théorème d'Abel et de leurs réciproques partielles.
  1. Soit et . Démontrer que
  1. À l'aide d'un contre-exemple, démontrer que la réciproque du résultat de la question 1 est fausse.
  2. Soit et . Démontrer que
  1. Soit . On définit la transformée de Laplace de par la fonction
Démontrer que est bien définie et de classe sur , et exprimer sa dérivée.
5. Soit . Le but de cette question est de démontrer que
On suppose que converge.
(a) Démontrer que la fonction
est bien définie, continue et bornée sur , de classe sur et vérifie .
(b) Démontrer que par une intégration par parties.
6. Démontrer que
  1. Soit et . Démontrer que
Pour cela, en utilisant les notations de la question 5 de la section 2 , on pourra démontrer qu'il existe et tels que pour tout

Fin du sujet

ENS Mathématiques C MP MPI 2024 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa