On dit qu'une partie d'un espace vectoriel normé est relativement compacte si elle est incluse dans un compact.
Sur , on notera . $é$ pour tous et . On notera également la norme associée à ce produit scalaire.
Pour un compact, on note l'espace vectoriel des fonctions continues de dans que l'on munit de la norme .
On dit qu'une partie de est équicontinue en si :

où

désigne la boule ouverte de

centrée en

et de rayon

.
On dit que

est équicontinue si elle est équicontinue en tout point

On s'intéresse dans tout le sujet au problème de Cauchy suivant :

avec

une fonction sur

un ouvert de

à valeurs dans

.
On dit que ce problème de Cauchy admet une solution si il existe

et une fonction

dérivable telle que

et vérifiant

pour tout

. On dit que

est une solution du problème de Cauchy.

On dira que (

) est une solution maximale du problème de Cauchy (1), si (

) est une solution et s'il n'existe pas de solution (

) qui vérifie

. Si

on dira que

est une solution globale.

Dans tout le sujet on admet que toute solution peut-être prolongée en solution maximale.

Les parties I et II sont indépendantes, la partie IV est indépendante des autres parties.

I - Premiers exemples

Dans cette partie, on admet que toutes les équations proposées admettent une unique solution et que celle-ci est globale. De plus on considère uniquement le cas

. Soient

On considère le problème de Cauchy associé à définie par :

On note

la solution de ce problème sur

.
(a) Montrer qu'il existe

tel que pour tout

on a

.
(b) En considérant la fonction

trouver l'expression de

.
(c) En déduire que

vérifie

pour tout

et que de plus

est strictement croissante.
2. Pour

, on considère

définie par :

En considérant la fonction

trouver l'expression de la solution

sur

associée à

.
3. (a) Montrer que

converge simplement vers

lorsque

tend vers 0 .
(b) Montrer que

converge simplement vers

lorsque

tend vers 0 .

II - Un théorème de compacité

Dans cette section, on considère

un compact de

. On rappelle que l'espace vectoriel

est muni de la norme

Soit et l'ensemble des fonctions de dans qui sont -lipschitziennes. Montrer que est équicontinue.

Soit

une partie de

. On cherche à montrer dans la suite de cette partie le théorème suivant :

Théorème 1 : Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(P1) A est relativement compacte.
(P2) A est équicontinue et pour tout , l'ensemble est borné.

Montrer qu'une partie est relativement compacte si et seulement si toute suite admet une sous-suite qui converge uniformément vers une limite .
En raisonnant par l'absurde, montrer que si est relativement compacte alors est équicontinue.
Montrer que .

On suppose maintenant que

vérifie

. On considère

une suite d'éléments de

.
5. Soit

une suite d'éléments de

.
(a) Montrer qu'il existe une suite

de fonctions strictement croissantes de

dans

telle que pour tout

converge lorsque

tend vers l'infini avec

pour

.
(b) Montrer que pour tout

converge lorsque

tend vers l'infini.
6. (a) Montrer que l'on peut extraire de la suite

une sous-suite qui converge simplement sur

. On notera

cette extraction.
(b) Pour

, montrer que

admet une unique valeur d'adhérence notée

et conclure sur la convergence simple de la suite

sur

vers

.
7. (a) Montrer que

est continue sur

.
(b) Montrer que la suite

converge uniformément vers

sur

. (Indication : on pourra raisonner par l'absurde.)
(c) En déduire que

III - Existence de solutions

On considère dans cette partie que la fonction

est continue et

. Pour tout

, on note

la boule fermée de centre

et de rayon

Montrer que l'on peut choisir et tels que et tels que pour tout , on puisse définir par récurrence, en posant , une suite à valeurs dans telle que:

Montrer alors que l'on peut construire une unique fonction continue sur , affine sur chaque intervalle pour tout et telle que pour tout .
Montrer, à l'aide du Théorème 1, qu'il existe une sous-suite de qui converge uniformément sur vers une fonction continue .
Montrer que l'on peut définir une suite de fonctions en escalier telle que pour et telle que :

On précisera l'expression des fonctions

.
5. En déduire qu'il existe une sous-suite de

qui converge uniformément sur

et préciser sa limite.
6. Montrer que (

) est solution du problème de Cauchy (1) et en déduire le théorème suivant :

Théorème 2: Si F est une fonction continue, alors il existe au moins une solution du problème de Cauchy (1).
7. On considère le cas particulier pour

donné pour tout

par

. Montrer que ce problème de Cauchy admet une infinité de solutions globales.

IV - Inclusions Différentielles

On s'intéresse maintenant à une extension du problème de Cauchy (1). On considère cette fois

à valeurs dans l'ensemble

des parties compactes de

. On considère alors le problème d'inclusion différentielle défini par :

On s'intéresse aux solutions de ce problème qui sont continues et

par morceaux. Pour

, on dira que (

) est une solution de (2) si il existe

tels que :
(i)

est continue sur

.
(ii) Pour tout

soit

sur

admette une limite à droite en

et si

une limite à gauche en

.
(iii) Pour tout

et tout

, on a

.
(iv) Pour tout

et si

.
(v)

On utilisera comme dans le cas du problème (1) les notions de solutions maximales et globales.

Montrer que si pour tout compact , il existe telle que vérifie :

alors, le problème (2) admet au plus une solution maximale. (Indication : On pourra regarder

pour

deux solutions)

Dans toute la suite, on considère le problème d'inclusion différentielle donné par

définie pour tout

par :

où

avec

.
2. On pose

.
(a) Montrer que

vérifie la condition (3).
(b) On choisit

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
3. On pose

.
(a) Montrer que

ne vérifie pas la condition (3).
(b) On choisit

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).
(c) On choisit

. Trouver toutes les solutions maximales du problème (2).