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ENS Mathématiques 2 MP PC 2008

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GéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentielles
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Banque
X-ENS
Année
2008
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2008MP/PC MathsMaths 2008
2025_08_29_7e19350c05c113b716fag

Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filières MP PC (groupe I)Épreuve optionnelle commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
L'objectif de ce problème est d'étudier les propriétés des solutions d'équations différentielles de la forme
où est une fonction homogène de degré 0 , c'est-à-dire une fonction ), à valeurs dans , vérifiant
pour tout nombre réel et pour tout . A noter que n'est pas définie en 0 et c'est précisément cette difficulté qui est traitée dans ce sujet.
Nous dirons que est une solution de (1) au sens 1 sur un intervalle si est une fonction continue de vers et s'il existe un nombre fini de temps tels que et tels que soit de classe et non nulle sur les intervalles et vérifie (1) sur ces intervalles.
Nous dirons que est une solution maximale de (1) au sens 1 s'il n'existe pas de solution de (1) au sens 1 sur un intervalle ] [strictement plus grand que telle que pour .
Enfin nous dirons que est une solution de (1) au sens 2 sur un intervalle ] [ si est une fonction continue de ] [ vers telle que pour tout , si alors est dérivable en et (1) est vraie. Nous définissons de même la notion de solution maximale de (1) au sens 2.
Dans tout le sujet, nous identifierons et et noterons la partie réelle d'un nombre complexe et sa partie imaginaire. Ainsi un point de sera aussi noté , avec . La norme de dans , qui est aussi son module après identification entre et , sera notée indifféremment ou .
Nous terminerons cette introduction par le résultat suivant (que le candidat pourra utiliser sans le démonter)
Passage en polaire: si est une fonction continue (respectivement ) d'un intervalle vers alors il existe deux fonctions et continues (respectivement ), de vers et telles que

Partie I

  1. Vérifier que toute solution de (1) au sens 1 sur un intervalle est solution au sens 2 sur le même intervalle.
  2. Soient (en identifiant et à des nombres complexes)
et
Donner une interprétation géométrique de et de . Vérifier que et sont homogènes de degré 0 .
3) Soient pour ,
et
Exprimer en fonction de et .
4) Soit une solution de (1), de classe sur un intervalle et qui ne passe pas par 0 sur cet intervalle. D'après le rappel fait en introduction on sait qu'il existe deux fonctions de classe et telles que .
Quelles sont les équations vérifiées par et ? On fera intervenir et .
5) Soit une fonction définie sur un intervalle de , à valeurs dans . Soit et . Montrer que si alors et vérifient
  1. On s'intéresse dans cette question au système ( 3,4 ). Soit et . Montrer qu'il existe une unique solution maximale au système telle que et . Montrer que est positif sur tout son intervalle définition. Vérifier que et sont définis sur tout entier.
  2. Soit, dans cette question, .
7a) Vérifier que est homogène de degré 0 . Tracer l'allure du champ de vecteurs .
7b) Soit une solution de (1) au sens 1 sur un intervalle . Soit . Calculer en fonction de sur l'intervalle [dans le cas où . Que se passe-t-il quand ? Le candidat est invité à s'aider d'un dessin.
7c) Donner toutes les solutions maximales de (1) au sens 1 .
7d) Donner toutes les solutions maximales de (2) au sens 2.
8) Soit maintenant dans cette question
8a) Donner toutes les solutions maximales de (1) au sens 1 .
8b) Donner toutes les solutions maximales de (1) au sens 2.
9) Montrer que si est une solution au sens 1 et si alors est aussi solution de (1) au sens 1. Interpréter géométriquement ce résultat.

Partie II

On suppose dans toute cette partie II que ne s'annule jamais.
  1. On s'intéresse dans cette question au système . Soit ( ) une solution maximale de . On suppose qu'il existe tel que .
1a) Vérifier que est monotone.
1b) Montrer qu'il existe tel que (modulo ).
Montrer que est périodique.
1c) Montrer que est une constante indépendante de . On notera cette constante.
2) On revient maintenant à (1). Soit une solution maximale de (1) au sens 1. Soit ] [ un intervalle sur lequel est de classe et ne s'annule pas. Comme dans I. 4 on introduit les fonctions et telles que .
2a) Montrer que l'on peut définir une fonction , de classe , telle que . Comme dans I. 5 on introduit et .
2b) En étudiant et , donner l'intervalle de définition de . On distinguera les cas et .
2c) Tracer l'allure des solutions.
2d) On suppose dans cette question que . Soit une demi droite issue de l'origine. Montrer qu'il existe une infinité de réels tels que pour tout et tels que soit l'ensemble des solutions de l'équation .
Que peut-on dire de ? de ?

Partie III

Dans cette partie on suppose que a exactement deux zéros distincts et sur , tels que , vérifiant de plus et .
  1. Dans cette question on s'intéresse au système . Soit une solution maximale de .
1a) Vérifier que s'il existe tel que alors pour tout . Déterminer dans ce cas les limites de en et . Calculer les limites de en et en fonction de et que l'on supposera non nuls.
1b) Reprendre la question 1b dans les trois cas suivants: .
2) On revient dans cette question à l'équation (1). On suppose dans cette question que et que . Soit et la solution maximale au sens 1 telle que . En utilisant la question précédente, montrer que sauf pour sur une demi-droite que l'on précisera, ne passe jamais par l'origine, est définie sur tout entier, et admet des asymptotes en et que l'on précisera.
Tracer l'allure des différentes solutions maximales de (1).
3) Reprendre brièvement la question précédente en supposant successivement
3a) et .
3b) et .
3c) et .
Préciser à chaque fois si l'intervalle de définition des solutions maximales de (1) est borné ou non. On ne demande pas de détailler les preuves, mais simplement des résultats précis.
4) 4a) Donner un exemple explicite de fonction telle qu'on soit dans le cas 3b.
4b) Quelles sont les solutions de (1) au sens 1 dans ce cas ?
4c) Les notions de solutions au sens 1 et au sens 2 coincident elles ?

Partie IV

Dans cette partie on fait les mêmes hypothèses que dans la partie III, à savoir que a exactement deux zéros distincts, et tels que , . On suppose de plus que et . On cherche maintenant le comportement asymptotique de aux limites de son intervalle de définition.
Soit
  1. Est ce que est continue ? de classe ?
  2. Soit . Ecrire l'équation vérifiée par .
Vérifier que tend vers 0 en et est de signe constant. Pour simplifier on supposera dans la suite que (le cas se traitant de la même façon).
3) Vérifier que pour assez grand
et en déduire une majoration de .
4) Montrer que admet une limite finie en .
5) Montrer qu'il existe une constante telle que, lorsque ,
  1. On s'intéresse maintenant au comportement asymptotique de .
6a) Donner un équivalent de quand tend vers .
6b) Donner un équivalent de quand tend vers .
6c) Donner un équivalent de quand tend vers . Retrouver directement ce résultat.
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