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ENS Mathématiques 2 MP PC 2005

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresEquations différentielles
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Banque
X-ENS
Année
2005
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2005MP/PC MathsMaths 2005
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SESSION 2005

Filière MP (groupes MP/MPI et groupe I)
Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Filières MP PC (groupe I)Épreuve optionnelle commune aux ENS de Paris et Lyon

MATHÉMATIQUES MPI 2

Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Notations

Dans tout le problème, on notera l'ensemble des fonctions réelles définies sur et continues par morceaux. On rappelle que signifie qu'il existe une subdivision de , telle que pour soit continue sur chaque intervalle de la forme , et qu'en plus admette des limites finies et à gauche et à droite de chacun de ces intervalles.
Par ailleurs, on définit l'ensemble des fonctions réelles continues sur et de classe par morceaux. Cela signifie qu'il existe une subdivision de telle que pour soit continûment dérivable sur chaque intervalle de la forme , et qu'en plus admette des limites finies et à gauche et à droite de chacun de ces intervalles.
Dans ces deux cas la partition de est appelée partition subordonnée à (ou à ). On remarquera qu'il n'y a pas qu'une seule partition subordonnée à une fonction donnée.
Enfin, on note tel que .

Partie I

1.a Soit . Démontrer qu'il existe telle que
Réciproquement, montrer que si , la fonction définie par
est un élément de .
1.b Soient et vérifiant (1). Montrer que si l'on note une partition subordonnée à , alors est définie de manière unique sur . Dans toute la suite du problème, une fonction vérifiant
(1) sera appelée une dérivée de . Pour , on désignera par une dérivée de .
1.c Montrer que si et sont deux fonctions de possédant respectivement des dérivées et , alors le produit appartient à et admet pour dérivée.
2. Soit . Démontrer que
Montrer aussi qu'il y a égalité si et seulement si il existe une constante telle que sauf éventuellement en un nombre fini de points de .
3. Soit . Montrer que la fonction définie par
appartient à l'ensemble .
4. Soit , démontrer que vérifie
si et seulement si il existe une constante telle que sauf éventuellement en un nombre fini de points de .
5. Soient vérifiant
Montrer qu'alors il existe telle que coïncide avec sauf éventuellement en un nombre fini de points et que
Observer que si de plus alors .

Partie II

Pour tout et tout , on note
  1. Montrer que est bien définie pour et qu'en particulier sa valeur ne dépend pas du choix possible de parmi les dérivées de .
A partir de maintenant, et jusqu'à la fin du problème, on admettra que pour tout , le problème de minimisation
a au moins une solution que l'on notera . Ainsi, vérifie
Le but du problème est d'étudier et en particulier son comportement lorsque tend vers .
2.a Soit . Montrer que
.
2.b En déduire que vérifie
2.c Montrer que coïncide avec une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points. En déduire que est en fait de classe et que sa dérivée au sens classique vérifie encore (3). Montrer enfin que est de classe et vérifie l'équation différentielle
sur , puis que est de classe sur .
2.d Montrer qu'il existe une constante telle que
2.e Montrer que . Montrer ensuite que
  1. En considérant, pour , la fonction définie par
montrer qu'il existe une constante indépendante de telle que pour tout suffisamment grand,
En constatant que pour tout , en déduire qu'il existe tel que pour , la solution du problème de minimisation (2) n'est pas unique.
4.a Montrer que si l'on pose , alors
4.b Soit . Montrer que
puis que

Partie III

Dans cette partie, on considère une famille de fonctions de vérifiant
  1. Justifier le fait qu'une telle famille existe.
  2. Montrer que pour tous et ,
En déduire que
  1. On pose , et on définit la fonction de dans par
En constatant que est de classe sur et que
montrer que
  1. Déduire des questions précédentes que

Partie IV

  1. Résoudre l'équation différentielle
Vérifier que
  1. On pose pour ,
où est la solution de la question précédente.
Calculer . Montrer en choisissant convenablement que
  1. On considère une subdivision de de la forme . Sur cette subdivision, on définit la fonction par
On considère enfin une famille de fonctions vérifiant
3.a Montrer qu'une telle famille existe.
3.b Montrer que
3.c Construire une famille de fonctions vérifiant les hypothèses (4) telle que
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