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ENS Mathématiques 1 MP 2010

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Algèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2010MP MathsMaths 2010
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Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 6 heures
L'usage de calculatrice est interdit

NOTATIONS :

Dans tout le problème on considérera des groupes abéliens qui seront notés tantôt additivement, tantôt multiplicativement. Le but du problème est notamment de démontrer un théorème de structure pour certains groupes abéliens, dits -primaires (voir partie III), qui vérifient de plus une certaine condition de finitude. Cet objectif est atteint dans la question VI.2.b.
est un groupe abélien (noté additivement), on note 0 son élément neutre et le symétrique d'un élément de . On pose aussi, pour tout et tout ( termes); on convient également que et que si est un entier négatif. Pour , on note le sous-groupe de constitué des éléments qui vérifient , et le sous-groupe de constitué des éléments de qui s'écrivent avec : en d'autres termes et sont respectivement le noyau et l'image du morphisme de groupes de dans .
Si sont des groupes abéliens (notés additivement), le produit cartésien est muni de la structure de groupe produit définie par . En particulier, on note le groupe produit ( facteurs), avec la convention que est le groupe trivial si .
On note le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 , que l'on considère comme une partie du C -espace vectoriel normé . Pour tout nombre premier , on note l'ensemble des éléments de tels qu'il existe vérifiant .

QUELQUES RÉSULTATS ADMIS :

On pourra utiliser sans démonstration les résultats suivants :
A. Soient et deux groupes abéliens. On suppose que pour tout sousgroupe de avec et tout morphisme de groupes , il existe un sous-groupe de contenant strictement et un morphisme dont la restriction à est .
Alors pour tout sous-groupe de et tout morphisme de groupes : , il existe un morphisme de groupes dont la restriction à est .
B. Soit un -espace vectoriel de dimension finie et soit une famille d'endomorphismes diagonalisables de telle que pour tous de . Alors il existe une base de dans laquelle la matrice de tous les est diagonale.
C. Soit un morphisme de groupes dont le noyau et l'image sont tous deux finis; alors est fini et son cardinal est le produit du cardinal de et du cardinal de .
Si est un groupe fini, le cardinal de tout sous-groupe de divise celui de .
Les parties I et II sont indépendantes, ainsi que les parties IV et V.

I

I. 1 Soit un morphisme de groupes multiplicatifs. On suppose que est continu. Pour tout de , on pose .
a) Montrer que est un morphisme de groupes de ( ) dans ( ).
b) En considérant la fonction (pour a réel fixé), montrer que est une application dérivable (on pourra effectuer un changement de variable dans l'intégrale).
c) Montrer que pour tout de , on a .
d) Montrer qu'il existe tel que pour tout de .
e) En déduire qu'il existe tel que pour tout .
Dans toute la suite de cette partie I, on fixe un nombre premier .
I.2. a) Montrer que est un sous-groupe infini de ( ).
b) Montrer que est une partie dense de .
I.3. Soit un morphisme de groupes multiplicatifs. On suppose que est une application continue en .
a) Montrer que est une application uniformément continue.
b) Soit ( ) une suite d'éléments de qui converge vers un élément de . Montrer que la suite ( ) converge dans (on pourra montrer que cette suite est de Cauchy).
c) Montrer qu'il existe une unique application continue tel que pour tout de . Que peut-on en déduire pour ?

II

On dit qu'un groupe abélien est divisible si pour tout , le morphisme de groupes est une surjection de dans .
  1. Soit un groupe abélien. Soient un sous-groupe de et un élément de . On note le sous-groupe de constitué des éléments qui s'écrivent avec et (on ne demande pas de vérifier que est bien un sous-groupe de ).
Soit un groupe abélien; on considère un morphisme de groupes : .
a) On suppose qu'il n'existe pas d'entier tel que . Montrer que tout élément de s'écrit de manière unique avec et . En déduire qu'il existe un morphisme de groupes tel que pour tout de .
b) On suppose maintenant qu'il existe un entier tel que . On choisit un tel minimal et on pose . On fait enfin l'hypothèse supplémentaire qu'il existe tel que . Montrer qu'on peut définir un morphisme de groupes de dans par la formule pour tout et tout (on pourra commencer par montrer que l'ensemble des tels que est un sous-groupe de dont est un générateur).
Vérifier alors que pour tout de .
c) Montrer que si est divisible, alors il existe un morphisme de groupes tel que pour tout de .
2. Soit un groupe abélien et soit un sous-groupe divisible de .
a) Montrer qu'il existe un morphisme tel que pour tout de .
b) En déduire qu'il existe un sous-groupe de tel que tout élément de s'écrive d'une manière unique avec et , puis que est isomorphe au groupe produit .

III

Soit un nombre premier. On dit qu'un groupe abélien (noté additivement) est -primaire si pour tout de , il existe un entier tel
que . On dit que est -divisible si le morphisme de groupes est une surjection de dans .
  1. Montrer que ( ) est -primaire. Est-il -divisible ?
  2. Pour quelles valeurs de le groupe additif est-il primaire (respectivement -divisible) ?
  3. Soit ; on note le groupe multiplicatif des matrices de taille inversibles à coefficients dans . Soit un sous-groupe abélien et -primaire de . Montrer que est isomorphe à un sous-groupe de .
  4. a) Soit un nombre entier non divisible par . Montrer que si est un groupe abélien -primaire, alors le morphisme de groupes est un isomorphisme de dans .
    b) En déduire que si est un groupe abélien -primaire et -divisible, alors il est divisible.
Dans toute la suite de cette partie III, on fixe un nombre premier et un groupe abélien ( ).
5. Montrer qu'on définit une structure de -espace vectoriel sur par la formule :
où désigne la classe de dans .
6. On suppose dans cette question III. 6 que est fini.
a) Montrer que est isomorphe au groupe pour un certain entier naturel .
b) Montrer que pour tout le groupe est fini de cardinal une puissance de (on pourra considérer le morphisme défini par ). En déduire qu'un groupe abélien fini est -primaire si et seulement si son cardinal est une puissance de .
c) Soit . Montrer que l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions dans ; en déduire qu'au moins l'une de ces solutions appartient encore à . Que peut-on en conclure pour le groupe ?

IV

Dans cette partie, on fixe un nombre premier et un groupe abélien primaire , qui vérifie de plus : est fini et .
  1. Montrer qu'il existe un entier tel que .
  2. Montrer que , et en déduire que est fini.

V

Dans toute cette partie , on fixe un nombre premier et un groupe abélien -primaire et -divisible tel que soit fini. On note le cardinal de (qui est une puissance de d'après III.6.a).
  1. Soit . Montrer que le groupe est de cardinal (on pourra utiliser l'application définie en III.6.b).
  2. On suppose dans toute cette question V.2. que et on choisit dans .
    a) Montrer qu'il existe une suite d'éléments de vérifiant et pour tout . Montrer qu'alors pour tout est un générateur du groupe .
    b) En déduire que est isomorphe au groupe multiplicatif ( ) (on pourra d'abord définir l'isomorphisme cherché sur pour fixé).
  3. On revient à quelconque.
    a) Montrer qu'il existe dans tels que pour tout , l'égalité implique que tous les sont divisibles par (on pourra utiliser III.6.a).
    b) Soit ; montrer qu'il existe une suite d'éléments de vérifiant : et pour tout . Montrer alors qu'on définit un isomorphisme de groupes de sur par la formule :
où désigne la classe dans de .
c) Pour fixé, on note l'ensemble des éléments de qui peuvent s'écrire avec et . Montrer que est un sous-groupe de et que l'application
est un isomorphisme de groupes.
d) En déduire que est isomorphe au groupe multiplicatif .
Soient un nombre premier et un groupe abélien -primaire. Une famille d'éléments de est dite presque nulle si pour tout indice à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.
On considère la famille de tous les sous-groupes -divisibles de et on appelle l'ensemble des éléments de qui peuvent s'écrire où est une famille presque nulle d'éléments de telle que pour tout .
  1. Montrer que est un sous-groupe divisible de (on pourra utiliser III.4.b) et que tout sous-groupe -divisible de est inclus dans .
  2. On suppose de plus que est fini. Soit un sous-groupe de tel que tout élément de s'écrive d'une manière unique avec et (l'existence de est assurée par II.2.b).
    a) Montrer que (on pourra utiliser III.6.c)) et en déduire que est fini (on pourra utiliser IV.2).
    b) En déduire qu'il existe un entier et un groupe abélien fini -primaire tels que soit isomorphe au groupe produit .
  3. On rappelle qu'un corps commutatif est dit algébriquement clos si tout polynôme de est scindé.
Soit un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique zéro. Soit un nombre premier. On note l'ensemble des éléments de tels qu'il existe avec . Montrer que est un sous-groupe du groupe multiplicatif de , et que est isomorphe à .

FIN DE L'EPREUVE.

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