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ENS Mathématiques 1 MP 2009

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Algèbre générale
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X-ENS
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2009MP MathsMaths 2009
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Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

Préambule

Le problème est consacré à quelques propriétés de nature combinatoire des groupes abéliens.
Soit un groupe abélien et soit une partie non vide de ; on relie ainsi des propriétés atypiques des cardinaux des ensembles , d'une part, notamment le fait que le cardinal de soit «petit» par rapport à celui de et des propriétés algébriques de l'ensemble , comme le fait d'être une progression arithmétique.
Le résultat principal du problème, le théorème de Freiman-Rusza-Chang, affirme que toute partie non vide de est contenue dans une progression arithmétique de dimension et taille contrôlées en fonction du rapport . Il est démontré à la fin de la partie V .
La partie I développe quelques généralités sur les sommes d'ensembles. La démonstration du théorème de Freiman-Rusza-Chang utilise des arguments de nature arithmétique (valeurs aux vecteurs à coordonnées entières de formes quadratiques définies positives) qui font l'objet de la partie II et d'autres de nature analytique (séries de Fourier) qui sont développés dans la partie III.
Ces trois premières parties sont indépendantes l'une de l'autre.
Leurs arguments sont combinés dans la partie IV pour démontrer que l'ensemble contient une progression arithmétique de dimension et taille contrôlée en fonction de . Le théorème de Freiman-Rusza-Chang fait alors l'objet de la partie V et clôt le problème.

Notations

Les lettres et désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels, celui des entiers naturels strictement positifs, l'anneau des entiers relatifs, le corps des nombres réels et le corps des nombres complexes. On note et la partie réelle, la partie imaginaire et le module d'un nombre complexe .
La fonction log est la fonction logarithme népérien, réciproque de la fonction exponentielle. On désigne par cosh et sinh les fonctions «cosinus hyperbolique» et «sinus hyperbolique»; elles sont définies pour tout nombre complexe par les relations
Une partition d'un ensemble est un ensemble de parties de deux à deux disjointes dont la réunion est égale à . Si est un ensemble fini, on notera son cardinal.
Si est un entier naturel, désigne le produit de tous les entiers de 1 à ; par convention, on pose . Si et sont des entiers naturels, on note l'entier (coefficient binomial).
L'espace vectoriel sera muni de la norme euclidienne standard telle que si . La base canonique de cet espace est la famille telle que si .
Soit un entier naturel strictement positif; si et sont des entiers relatifs, on note pour dire que et sont congrus modulo , c'est-à-dire que est multiple de . La classe de congruence modulo d'un entier relatif est l'ensemble des entiers relatifs qui sont congrus à modulo . On note l'anneau des entiers modulo .
Soit un groupe abélien dont la loi de groupe est notée additivement. Si sont des parties de , on note respectivement et l'ensemble des sommes et l'ensemble des différences , où parcourt et parcourt . Lorsque ces parties ne sont pas vides, on pose aussi
Si est une partie de et est un entier naturel, on note l'ensemble (où il y a termes). Enfin, si , on fera l'abus de notation consistant à noter l'ensemble .
Soit un entier naturel tel que ; soit un entier naturel. On dit qu'une partie de est une progression arithmétique de dimension et de taille s'il existe des éléments de et des entiers naturels non nuls tels que et ; on dit qu'une telle progression arithmétique est propre si l'on a .

I. Sommes de parties

  1. Soit un entier naturel non nul et soit un entier naturel.
    a) Soit et des entiers naturels tels que ; démontrer l'égalité
b) Démontrer que l'ensemble des -uplets ( ) d'entiers naturels tels que a pour cardinal .
c) Vérifier l'encadrement
  1. Soit un groupe abélien fini et soit des parties non vides de telles que .
    a) Démontrer que .
    b) Donner un exemple où l'on a mais .
  2. Soit un groupe abélien.
    a) Si et sont des parties finies et non vides de , démontrer les inégalités
b) Soit une partie finie et non vide de . Démontrer pour tout entier naturel 1 les inégalités
  1. Soit et des parties finies et non vides de .
    a) Démontrer que .
    b) On suppose que et que et ne sont pas des singletons. Démontrer qu'il existe des entiers et tels que
  1. Soit un groupe abélien et soit des parties finies et non vides de .
    a) Soit l'ensemble des éléments de tels que . Démontrer que est un sous-groupe fini de .
    b) Démontrer que si et seulement s'il existe tel que .
  2. Soit un groupe abélien et soit des parties finies et non vides de . Démontrer que . Démontrer aussi l'«inégalité triangulaire»:
  1. Soit et des parties finies non vides de . Démontrer que si et seulement s'il existe un sous-groupe fini de et des éléments tels que et .

II. Valeurs aux entiers de formes quadratiques définies positives

On dira qu'une famille ( ) de l'espace vectoriel est une base entière si elle est formée d'éléments de et si tout élément de est combinaison linéaire à coefficients entiers des .
  1. Soit une famille d'éléments de . Démontrer que c'est une base entière si et seulement si son déterminant (dans la base canonique) est égal à .
  2. Pour , on pose .
Soit un vecteur non nul dont les coordonnées sont premières entre elles dans leur ensemble. Montrer par récurrence sur qu'il existe une base entière de telle que . (Si , choisir de sorte que soit minimal et considérer des vecteurs tels que et est de la forme pour .)
3. Soit une forme quadratique . On note disc le déterminant de la matrice de dans la base canonique de .
Soit un endomorphisme de et la forme quadratique . Démontrer que .
4. Soit une forme quadratique définie positive sur . On pose
a) Démontrer que et qu'il existe un vecteur tel que .
b) Démontrer qu'il existe une base entière de de la forme ( ), où .
c) Montrer qu'il existe une forme linéaire sur et une forme quadratique sur telles que
pour tout .
d) Démontrer que est une forme quadratique définie positive sur , et que l'on a l'égalité disc .
e) Démontrer que pour tout , il existe tel que .
f) Démontrer que .
g) En déduire par récurrence que .
h) Démontrer par récurrence qu'il existe une base entière ( ) de telle que

III. Transformation de Fourier et sommes d'ensembles

Soit un entier tel que ; posons . Si est un élément de , on notera le nombre complexe , où est un élément quelconque de la classe de congruence .
Pour toute application , on définit alors une application en posant
Si et sont des applications de dans , on définit aussi une application de dans par la formule
Pour , on note le minimum des où parcourt l'ensemble des éléments de la classe de congruence . Si est une partie de et un nombre réel strictement positif, on définit comme l'ensemble des tels que pour tout .
  1. Soit . Démontrer que vaut si , et vaut 0 sinon.
  2. Soit des applications de dans . Démontrer les formules suivantes :
    a) pour ;
    on a ;
    c) pour tout , on a .
  3. Soit une partie de et soit sa fonction indicatrice.
    a) Démontrer les formules
b) Démontrer qu'un élément de appartient à si et seulement si l'expression
n'est pas nulle.
4. Soit un entier naturel. On dit qu'une suite ( ) d'éléments de est indépendante si la seule suite d'entiers de telle que est la suite .
Soit une partie de et soit une suite indépendante d'éléments de telle que soit maximal.
a) Démontrer que est contenu dans l'ensemble des éléments de de la forme , où pour tout .
b) On pose . Démontrer que pour tout nombre réel , l'ensemble contient l'ensemble . (Ces ensembles sont définis au début de cette partie.)
Les trois questions suivantes ont pour but de majorer la taille maximale d'une suite indépendante formée d'éléments d'une partie X. Cet objectif est atteint à la question III.7, c).
5. a) Soit un nombre réel ; démontrer que la fonction de dans donnée par est convexe.
b) Soit et des nombres réels tels que ; démontrer que .
c) Pour , démontrer que .
6. Soit une suite indépendante d'éléments de , soit ( ) une suite de nombres complexes et soit l'application définie par
a) Calculer pour . En déduire que .
b) Démontrer que .
c) Pour , soit un entier naturel dans la classe de congruence et soit un nombre réel. Démontrer que pour toute partie non vide de ,
d) Démontrer que pour tout , on a
  1. Dans cette question et dans la suivante, on considère la situation suivante. Soit et des nombres réels tels que et . Soit une partie de telle que et soit sa fonction indicatrice. Soit l'ensemble des tels que .
    a) Soit un entier naturel et soit ( ) une suite indépendante de telle que pour tout . Pour , on pose
Démontrer que
b) Minorer l'expression , pour , et démontrer que
c) En déduire que .
8. On pose et on choisit .
a) Démontrer que .
b) Démontrer que .
c) Démontrer que contient . (On pourra utiliser, après l'avoir démontrée, l'inégalité pour tout .)
d) On pose . Démontrer qu'il existe une partie de de cardinal telle que contienne .

IV. Progressions arithmétiques

  1. Soit un nombre premier, soit un entier naturel non nul. On désigne par l'ensemble des éléments de dont toutes les coordonnées sont divisibles par . Soit un élément de qui n'appartient pas à .
    a) Démontrer qu'il existe des entiers relatifs tels que les nombres entiers soient premiers entre eux dans leur ensemble.
    b) Soit l'ensemble des éléments de tels qu'il existe de sorte que . Démontrer qu'il existe une base entière ( ) de telle que soit l'ensemble des combinaisons linéaires , pour . (On pourra commencer par trouver un vecteur dont les coordonnées sont premières entre elles.)
    c) Démontrer qu'il existe une base ( ) de formée de vecteurs appartenant à tels que . (On pourra introduire la forme quadratique sur définie par et utiliser les résultats de la partie II.)
  2. On conserve les notations de la question précédente.
Pour tout , soit un entier relatif tel que appartienne à . On note la partie de formée des classes des modulo . Soit un nombre réel
strictement positif tel que . Soit l'ensemble des éléments tels que pour tout . Pour , posons et soit .
Démontrer les propriétés suivantes :
a) Si et sont deux éléments distincts de et ne sont pas congrus modulo .
b) Le cardinal de est supérieur ou égal à .
c) Pour tout , la classe modulo de appartient à .
3. Soit une partie de de cardinal et un nombre réel tel que . Démontrer que contient une progression arithmétique propre de dimension et de taille au moins .
4. Soit une partie non vide de ; soit et des nombres réels strictement positifs tels que ; on pose . Démontrer que 2A contient une progression arithmétique propre de dimension et de taille .

V. Théorème de Freiman-Rusza-Chang

Soit un groupe abélien, soit une partie non vide de . À partir de la question V.4, on pourra utiliser librement l'inégalité remarquable due à Plünnecke affirmant que pour tous entiers naturels et , où A) / Card(A).
Soit un groupe abélien et soit une application de dans . Si est un entier 1 , on dit que est -tendue si l'on a dès que sont des éléments de tels que .
Soit une partie non vide de . On dit que est -semblable à s'il existe des applications bijectives et inverses l'une de l'autre qui sont -tendues.
  1. Soit et des groupes abéliens, soit un entier naturel , soit une partie de et soit une application qui est -tendue. Soit et des entiers naturels tels que .
    a) Démontrer que pour tout entier tel que , est -tendue.
    b) Vérifier qu'il existe une unique application telle que
pour tout .
c) Si est un entier naturel tel que , démontrer que est tendue.
d) On suppose que est une progression arithmétique de dimension det de taille , pour des entiers naturels non nuls et . Démontrer qu'il en est de même de .
2. Soit et des groupes abéliens, soit un entier naturel tel que . Soit et des parties finies non vides de et respectivement qui sont -semblables.
a) Soit des entiers naturels tels que . Démontrer que et sont -semblables.
b) En déduire que pour tout couple d'entiers naturels tels que .
3. Soit un entier naturel ; soit un nombre premier. Soit l'application qui, à , associe l'unique entier de qui appartient à la classe de congruence . Soit un entier naturel tel que .
a) Pour , on note l'ensemble . Démontrer que pour tout entier , la restriction de à est une application -tendue de dans .
b) Soit une partie de . Démontrer que pour tout , il existe une partie de de cardinal telle que l'application définie par soit -tendue.
c) Soit un élément non nul de ; combien y a-t-il d'éléments tels que ? En déduire que si , il existe tels que et soient -semblables.
4. Soit une partie finie de . On suppose que est de cardinal au moins 2 et on pose .
a) Démontrer que .
b) Soit un entier naturel. Démontrer que pour tout nombre premier assez grand, est -semblable à une partie de .
c) Soit un entier naturel tel que . Démontrer que pour tout entier naturel tel que , il existe une partie de de cardinal qui est semblable à une partie de .
d) En prenant et en choisissant pour un nombre premier tel que (on ne cherchera pas à démontrer l'existence d'un tel nombre premier ), démontrer l'énoncé suivant : il existe un nombre réel (indépendant de et de ) tel que contienne une progression arithmétique propre de dimension au plus et de taille au moins .
5. Soit une partie finie non vide de ; on pose et on note le plus petit entier naturel tel que . Soit une progression arithmétique propre de dimension et taille qui est contenue dans , où est un nombre réel strictement positif.
On définit des suites et de parties de par récurrence comme suit:
  • on pose ;
  • si sont définis, on considère une partie de de cardinal maximal de sorte que les parties , pour , soient deux à deux disjointes;
  • si , on s'arrête;
  • si , on choisit une partie de dont le cardinal est égal à , on pose et on continue.
    a) Soit un entier tel que la partie soit définie. Démontrer que l'on a . Démontrer que , et en déduire l'inégalité
b) Soit le plus grand entier tel que soit définie. Démontrer l'inclusion
c) Pour toute partie finie non vide de , démontrer que est contenue dans une progression arithmétique de dimension et de taille . En déduire qu'il existe un nombre réel (indépendant de et ) tel que que soit contenu dans une progression arithmétique de dimension et de taille , avec
  1. Démontrer qu'il existe un nombre réel de sorte que l'énoncé suivant (théorème de Freiman-Rusza-Chang) soit vérifié : Soit une partie finie non vide de et posons ; alors, est contenue dans une progression arithmétique de dimension et de taille , où
Fin de l'épreuve.
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