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ENS Mathématiques 1 MP 2007

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2007MP MathsMaths 2007
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SESSION 2007

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrice est interdit

Avertissement

La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. On invite donc le candidat à produire des raisonnements clairs, complets et concis. Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes; il veillera toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.
Les parties I à V sont essentiellement indépendantes les unes des autres, à l'exception près de la dernière question de la partie III.

Objectif

Ce problème est consacré à l'étude des solutions entières d'équations de la forme
où et sont des entiers strictement positifs et un entier positif ou nul.

Notations

On note l'ensemble des entiers positifs ou nuls, l'anneau des entiers relatifs, le corps des nombres rationnels, le corps des réels et le corps des complexes. Pour tout désigne l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau ; la multiplication munit d'une structure de groupe. On note l'algèbre des matrices sur .
Pour tout nombre réel , on note la partie entière de , définie par :
Pour tout ensemble fini , on note son cardinal. Si est une partie d'un ensemble , on note le complémentaire de dans . Pour tout entier de , on note le groupe des permutations de . Pour tout entier de et tout élément de , on note
Soit une partie de . Si n'est pas vide, on note le plus petit élément de et on dit que est fini; par contre, si est vide, on pose .

Partie I Étude de cas particuliers

  1. Soient un entier strictement positif et un élément de .
    a. Montrer que l'ensemble
est fini.
On note dans la suite son cardinal.
b. Montrer que pour tout entier et tout de on a la relation
c. Montrer la formule
pour tout de et tout de .
d．En déduire pour tout entier strictement positif ，l＇équivalence
2．On s＇intéresse maintenant au cas où et ．
a．Déterminer l＇image des applications
⿺⿻⿻一㇂㇒丶
b．Donner l＇ensemble des solutions de l＇équation
dans ．
c．Soit un entier strictement positif．Montrer que l＇équation
n＇a pas de solution dans ．
d．Soient un entier strictement positif et un entier positif ou nul．Montrer que l＇équation
n＇admet pas de solution dans ．

Partie II

Somme de quatre carrés

Dans cette partie on s＇intéresse au cas et ．
1．Soit un nombre premier impair．
a．Déterminer le noyau du morphisme de groupes
b．En déduire le cardinal de son image et le cardinal de l＇ensemble
c．Montrer que les ensembles
s＇intersectent．
d. Montrer qu'il existe des entiers positifs ou nuls et avec tels que
  1. On note le -sous-espace vectoriel du -espace vectoriel engendré par les matrices
On identifie avec son image par l'application . En particulier, on note pour .
a. Montrer que forme une base de et que
b. Montrer que l'application définie par
est -linéaire et vérifie
c. Montrer qu'il existe une application telle que
On exprimera cette fonction en termes des coordonnées dans la base .
d. Montrer que
Dans le reste de cette partie, on note
  1. Montrer que
  1. Soit un nombre premier impair.
    a. Montrer qu'il existe tel que appartienne à .
On note le plus petit entier strictement positif tel que .
b. Soit un entier pair tel qu'il existe avec
(i) Montrer qu'il existe une permutation de telle que les entiers
et soient tous les quatre pairs et positifs.
(ii) En déduire que appartient à .
c. Montrer que est impair.
d. On suppose que . On se donne tels que
(i) Montrer qu'il existe des entiers et tels que les entiers donnés par pour satisfassent les trois conditions suivantes :
et
On note .
(ii) Montrer qu'il existe tels que
et
(On pourra considérer le produit .)
e. Montrer que .
5. Montrer que .

Partie III Les fonctions et

Pour tout entier strictement positif, on note
et
.
  1. Soit un entier strictement positif.
    a. Soit . Soit un entier strictement positif. Montrer que si vérifie
alors
b. Montrer la relation
  1. Y a-t-il équivalence entre la finitude de et celle de ? Dans le cas où ils sont tous les deux finis, donner une inégalité entre et .
  2. Déterminer et comparer la valeur obtenue avec la borne donnée dans la question 1.b. Déterminer .

Partie IV

Expression intégrale

Soient et des entiers strictement positifs. Pour tout entier de , on note
Pour tout nombre réel , on note
On désigne par la fonction
  1. Montrer que pour tout de , on a
  1. Montrer la relation
  1. Comparer et si .
Le reste du problème est consacré aux premières étapes de la démonstration de la finitude de , qui passe par une minoration de .

Partie V

Majoration de sommes d'exponentielles

Soient et des groupes commutatifs. Pour toute application de dans et tout entier , on définit
En particulier,
  1. a. Calculer .
    b. Montrer que, pour tout entier strictement positif,
c. Montrer que, pour tout entier de et tout , on a la relation
d. Montrer que, pour tout entier et toute permutation de , on a
  1. On se place dans le cas où est le groupe additif d'un anneau commutatif . Soit un entier strictement positif et soit
a. Calculer .
b. Montrer que l'on a
Si est une partie du groupe abélien , on note pour tout de ,
On pose également
et pour tout entier et tout ,
Par convention, si désigne .
3. Montrer que pour tout entier , on a
Soit une application. On note
Soit une partie finie de ; on considère la somme
  1. a. Montrer que
b. Montrer que
c. Montrer que
  1. a. Soit un entier strictement positif. Montrer que pour tout de ,
b. Montrer que pour tout entier ,
(On pourra raisonner par récurrence en utilisant le cas .)
Dans la suite de cette partie, on fixe des entiers et . Soit un nombre réel. Pour tout nombre réel de , on pose
  1. a. Montrer que pour tous de avec , tout de et tout de , on a l'inégalité
avec la convention que le terme de droite vaut si .
On note pour tout de
b. Montrer que
c. Montrer que pour tout nombre réel .
d. Montrer que
e. On note
et pour tout de , on note l'entier
(i) Exprimer en termes des .
(ii) Pour tout de , on note . Montrer que pour tout de , et tout entier de ,
(On pourra se donner des éléments convenables et de cet ensemble et considérer les différences .)
(iii) En déduire que
(On pourra se ramener d'abord au cas où est entier.)
7. Soient tels que et
a. Fixons et soient et deux entiers tels que , et . Montrer que
b. Montrer que le cardinal de l'image dans de est majoré par .
c. En déduire que
d．Montrer que
8．Soit une fonction．On dit que est multiplicative si elle vérifie les deux conditions suivantes ：
（i） ，
（ii） ．
a．Montrer que la fonction définie par
ーー
est multiplicative．
b．Montrer que pour tout nombre réel ，il existe un nombre réel tel que
ー
（On pourra d＇abord considérer le cas où est une puissance d＇un nombre premier．）
9．Montrer que pour tout nombre réel ，il existe un nombre réel tel que pour tout de ，tout de et tout de tels que et ，on ait pour tout de ，
10．Soient et un entier．
a．Montrer qu＇il existe et avec tels que
b．En déduire qu＇il existe et tels que et
Pour tout , tout , tout et tout , on pose
On définit alors
et
  1. a. Décrire l'ensemble comme réunion d'intervalles.
    b. Montrer que pour tout et tout réel resp. est une réunion finie d'intervalles.
Les intervalles formant (resp. ) sont appelés les arcs majeurs (resp. les arcs mineurs).
12. Soient et
a. Si et vérifient , montrer que .
b. En déduire que pour tout , il existe un nombre réel ne dépendant que de et tel que, pour tout de , on ait
  1. On définit pour tout de ,
Montrer que, pour tout , il existe un nombre réel ne dépendant que de et tel que, pour tout , pour tout de et tout de , on ait
Dans la suite, on notera pour toute fonction continue sur et toute famille finie d'intervalles disjoints contenus dans ,
  1. a. Montrer que, pour tout de et tout réel ,
b. Montrer que, pour tout nombre réel , il existe un nombre réel ne dépendant que de et tel que, pour tout réel ,
c. Montrer que si appartiennent à avec , alors pour tout nombre réel il existe un nombre réel ne dépendant que de et tel que, pour tout réel ,
  1. On suppose que . Montrer que pour tout , il existe un nombre réel et un nombre réel tels que pour tout réel ,
(On pourra considérer des nombres réels .)
16. On suppose que et qu'il existe un nombre réel , un entier positif et un nombre réel strictement positif tels que, pour tout entier ,
Que peut-on en déduire sur ?
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