J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques 1 MP 2006

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2006
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2006MP MathsMaths 2006
2025_08_29_a51dc57ba88145dc57dcg
SESSION 2006

Filière MP

MATHÉMATIQUES MPI 1

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 6 heures
L'usage de calculatrice est interdit

NOTATIONS ET CONVENTIONS

Soit un groupe et soit une partie de . On appelle sous-groupe de engendré par l'intersection de tous les sous-groupes de qui contiennent . On dit que engendre si le sous-groupe de engendré par est .
Un élément de est d'ordre fini si le sous-groupe de engendré par est fini. On appelle alors ordre de le cardinal de ce sous-groupe. Si est fini, le cardinal de tout sous-groupe de divise le cardinal de ; en particulier, tout élément de est d'ordre fini et son ordre divise le cardinal de .
Dans tout le problème, est un entier naturel non nul. Soit k un corps; on note
  • la -algèbre des matrices carrées à lignes à coefficients dans ;
  • le groupe des éléments inversibles de ;
  • l'élément neutre de , c'est-à-dire la matrice identité de taille ;
  • le sous-groupe de formé des matrices de déterminant 1;
  • l'ensemble des matrices de à coefficients dans .
Pour tous éléments distincts et de , on note l'élément de dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la -ième ligne et de la -ième colonne, qui vaut 1 . On pose ; c'est un élément de .

Le groupe

  1. Montrer que est un sous-groupe de (on pourra utiliser l'expression de l'inverse d'une matrice en fonction de sa comatrice).
  2. Pour tous entiers distincts et dans et tout entier relatif , calculer .
  3. Soit une matrice à colonnes, non nécessairement carrée, à coefficients dans Z. On appelle opération élémentaire restreinte sur les colonnes de la multiplication à droite de par une matrice , où et où et sont des éléments distincts de . Comment s'expriment les colonnes de la matrice en fonction de celles de ?
  4. On suppose . Soient des entiers relatifs. Montrer que l'on peut, par des opérations élémentaires restreintes sur ses colonnes, transformer la matrice ligne
en la matrice ligne
où est le pgcd positif de .
5. Montrer que l'ensemble des matrices , pour et distincts dans , engendre le groupe .
6. Soit un nombre premier, de sorte que est un corps.
a) Montrer que la réduction modulo des coefficients d'une matrice permet de définir un morphisme de groupes
b) Montrer que est surjectif (on pourra utiliser la question 4 et raisonner par récurrence sur ).

Sous-groupes finis de

  1. Soit un sous-groupe fini de .
    a) Montrer que tout élément de est diagonalisable sur et que
Quels sont les éléments de de trace ? Quels sont ceux de trace ?
b) Montrer que la matrice
est symétrique définie positive.
c) On munit du produit scalaire de matrice dans la base canonique. Montrer que les endomorphismes de dont la matrice dans la base canonique est un élément de sont orthogonaux pour ce produit scalaire.
8. Soit un sous-groupe fini de .
a) Montrer que le groupe est cyclique (on pourra utiliser la question 7.c)).
b) Montrer que le cardinal de est ou 6 .
c) Déterminer tous les éléments de d'ordre 2 .
d) Caractériser les éléments de d'ordre 3, puis 4, puis 6, à l'aide de leur trace.
e) Pour chaque , donner un exemple de sous-groupe de cardinal .
9. Soit un élément de d'ordre fini. Déterminer les valeurs possibles de sa trace et déterminer l'ordre de en fonction de celle-ci.
10. Considérons des matrices carrées, à coefficients dans un corps k , dont les lignes et les colonnes sont indexées par un ensemble fini pas nécessairement ordonné. Si et sont de telles matrices, on définit la trace de comme , la somme comme la matrice et le produit comme la matrice , où . On définit ainsi une k-algèbre; on notera cette algèbre et le groupe de ses éléments inversibles. Si est de cardinal , le choix d'une bijection entre et induit un isomorphisme de k-algèbres entre et . On identifiera en particulier et .
Soient et des ensembles finis, soit un élément de et soit un élément de . On définit un élément de en posant
pour tous et .
Enfin, pour tout entier strictement positif, on définit un élément de par récurrence sur en posant et .
a) Calculer la trace de en fonction de celles de et de .
b) Soient un élément de et un élément de . Exprimer la matrice en fonction des matrices et .
c) Soit un entier strictement positif. Montrer qu'en associant à la matrice , on définit un morphisme de groupes
  1. Soit un sous-groupe fini de de cardinal . On pose
a) Montrer que la trace de est un entier divisible par (on pourra calculer ).
b) Soit un entier strictement positif. Décrire le noyau de la restriction à du morphisme de groupes
défini dans la question 10.c) (on pourra étudier la trace des éléments de ce noyau).
c) Montrer que pour tout entier naturel , la somme est un entier divisible par .
12. Soit un sous-groupe fini de de cardinal .
a) Soit l'ensemble des traces (distinctes) des éléments de , avec . Montrer que
est un entier divisible par (on pourra poser et considérer la somme ).
b) En déduire que divise ( )! et que si est impair, divise ( )!.
c) Si , montrer que divise 24 (on pourra utiliser la question 9 ).
13. a) Construire pour chaque entier un sous-groupe de de cardinal ! (si est l'ensemble des vecteurs colonnes à lignes dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut , on pourra considérer les matrices qui appliquent l'ensemble dans lui-même).
b) En déduire le cardinal maximal d'un sous-groupe fini de .
14. Soit un nombre premier et soit un élément de d'ordre . On note le pgcd positif de tous les coefficients de .
a) Montrer que divise (on pourra écrire et développer ).
b) Montrer que soit , soit .
15. Soit un sous-groupe fini de de cardinal .
a) Montrer que la restriction à du morphisme de groupes défini dans la question 6.a) est injective.
b) En déduire que divise .
c) Si , montrer que divise 5760 .
16. Montrer que tout groupe fini de cardinal est isomorphe à un sous-groupe

Morphismes de groupes et

  1. Montrer qu'il existe un morphisme de groupes surjectif
(on pourra montrer que est isomorphe à un groupe de permutations).
18. On suppose dans cette question .
a) Soient et des éléments deux à deux distincts de . Calculer le produit
b) Soit un groupe commutatif. Montrer que tout morphisme de groupes est constant.
19. Soit un groupe engendré par une partie finie et soit un groupe fini.
a) Montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de morphismes de groupes de dans .
b) Soit un morphisme de groupes surjectif. Montrer que pour tout morphisme de groupes , on a .
20. En déduire que tout morphisme de groupes surjectif est bijectif.
ENS Mathématiques 1 MP 2006 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa