, masse négligeable) par une de leurs extrémités. L'autre extrémité de chaque ressort est fixée à un bâti. En outre, à l'équilibre, la longueur des ressorts est

(Figure 1). On cherche la pulsation propre des oscillations d'un tel système dans différentes configurations. Pour toutes les situations considérées dans cet exercice, on néglige les frottements.

Quelle est l'unité SI (Système International des unités) et la dimension physique d'une pulsation propre?
A) Unité:
B) Unité : rad.s
C) La dimension physique est celle de l'inverse d'une durée.
D) La dimension physique est celle d'un angle divisé par une durée.
Quelles sont les affirmations exactes:
A) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de masse.
B) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de longueur.
C) Une pulsation au carré est homogène à une force par unité de masse et par unité de longueur.
D) Une pulsation au carré est homogène au produit d'une masse et d'une force par unité de longueur.

Fig. 1 - Oscillateur harmonique dans un plan horizontal Oxy (a) Déplacement longitudinal (b) Déplacement transversal

On déplace , par rapport à sa position d'équilibre (prise comme origine des coordonnées cartésiennes et , d'une quantité initiale selon la direction horizontale (Figure 1a) et on l'abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement est astreint à demeurer horizontal. On observe alors un mouvement harmonique de pulsation . Quelles sont les expressions de et de la période des oscillations correspondante?
A)
B)
C)
D)
On écarte maintenant la masselotte, par rapport à sa position d'équilibre initiale, d'une quantité initiale . dans la direction transversale (Figure 1b), laquelle est, comme la direction , contenue dans le plan horizontal, et on l'abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement est astreint à s'effectuer seulement selon cette direction transversale . On observe alors, dans la direction seulement, un mouvement harmonique de pulsation propre . Quel est le rapport ?
A)
В)
C)
D)
La masselotte précédente et ses deux ressorts sont maintenant disposés verticalement, c'est-à-dire dans la direction du vecteur champ de pesanteur (Figure 2). Quelle est la nouvelle pulsation propre des oscillations si, comme précédemment, on écarte , dans la direction , d'une très petite quantité par rapport à la position d'équilibre (le mouvement est contraint à s'effectuer selon la direction verticale)?

Fig. 2-Oscillateur harmonique vertical

D) On ne peut rien dire

priori.
6. Calculer la longueur des ressorts à l'équilibre si

. La longueur totale entre les deux bâtis est

(on néglige la dimension de la masselotte). On prendra pour l'intensité du champ de pesanteur la valeur

. Le point

est pris comme origine de l'axe vertical ascendant

. Parmi les réponses proposées,

désignent, respectivement, les longueurs à l'équilibre du ressort du haut et du ressort du bas.
A)

Partie 2: Élargissement d'un faisceau de lumière parallèle

Un faisceau de lumière parallèle, modélisé par un cylindre de diamètre

, passe dans un système optique

constitué par trois lentilles minces,

, dans cet ordre. Le faisceau est parallèle à l'axe optique de

. Les lentilles ont, respectivement, une distance focale image

; leur centre optique respectif est noté

. A la sortie de

, le faisceau est toujours cylindrique, parallèle à l'axe optique, mais de diamètre

On rappelle que, pour une lentille mince

de centre optique

et de distance focale image

, plongée dans l'air (indice de réfraction

), qui forme l'image ponctuelle

d'un objet ponctuel

, la formule de conjugaison de Descartes et le grandissement transversal

associé sont:

Les distances sont algébriques, le sens positif étant celui de la lumière incidente. En outre, dans tout l'exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites.
7. Que peut-on dire de

?
A)

est convergent
B)

est afocal
C)

est divergent
D) On ne peut rien dire a priori
8. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes?
A) On ne pourrait pas élargir le faisceau avec un système optique formé uniquement de

suivie de

.
B) Avec le système formé uniquement de

, positionnés de sorte que le foyer objet de

coïncide avec le foyer image de

, le faisceau sera nécessairement élargi.
C) Avec le système formé de

, on ne peut pas faire un système afocal en plaçant le foyer objet de

au foyer image de

.
D) On ne pourrait pas élargir le faisceau incident en utilisant uniquement les lentilles

.
9. Quelle relation existe-t-il entre

?
A)

10. Déterminer l'expression du rapport

11. Quelle est l'expression de

en fonction de

et du rapport des diamètres

?
A)

12. On donne

. Pour quelle valeur approximative de

le rapport

est-il égal à 10 ?
A)

Partie 3: Freinage par induction électromagnétique

Un cadre métallique filiforme

, de forme carrée (côté

), est abandonné sans vitesse initiale, par rapport au référentiel

du laboratoire supposé galiléen, dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme (on note

le vecteur correspondant). On associe à

la base cartésienne orthonormée

où

sont trois vecteurs unitaires portés, respectivement, par les axes

. Le vecteur

désigne le sens de la verticale descendante. Au cours de sa chute, ce cadre pénètre soudainement, à un instant pris comme origine du temps, dans une région, supposée illimitée, de l'espace (

) où règne un champ magnétique

(

) uniforme et stationnaire (Figure 3). Dans cet exercice, on désignera par

la cote du point

. On considère en outre que l'inductance propre du cadre est négligeable.

Fig. 3 - Cadre métallique pénétrant dans une région à champ magnétique constant et stationnaire

On oriente le cadre dans le sens trigonométrique (voir Figure 3 ). On note l'instant à partir duquel le cadre se trouve entièrement immergé dans la région . Quelle est l'expression de la tension électromotrice (ou force électromotrice) induite au cours de la chute du cadre?
A) si si et si
B) si si et si
C) si si
D) si si
Le cadre métallique présente une résistance . Déterminer l'expression de la force de Laplace à laquelle est soumis le cadre.
A) si et si et si
B) si et si et si
C) si si et si
D) si si et si
Établir, par rapport à , l'équation différentielle du mouvement de , le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial et .
A) avec
B) avec
C) avec
D) avec
Calculer si et .
A)
B)
C)
D)
Déduire de la question précédente la loi d'évolution de la vitesse sachant que la vitesse initiale est .
A)
B)
C)
D)
On considère désormais le dispositif de la figure 4. Le cadre présente un interrupteur qui permet de modifier le circuit fermé dans lequel pourrait circuler un éventuel courant induit: si est en position 1 (point ), le circuit fermé est la spire rectangulaire ; si est en position 2 (point ), le circuit fermé est la spire rectangulaire . Que peut-on dire sur si on maintient le cadre immobile et on commute soudainement de la position 1 à la position 2 ? Ici encore, le cadre est orienté dans le sens trigonométrique.

Fig. 4 - Cadre métallique présentant un interrupteur

D) On ne peut rien dire

priori

Partie 4: Modèle thermodynamique de la troposphère terrestre

La troposphère est la couche d'atmosphère comprise entre le sol et une altitude moyenne d'environ 10 km sous les latitudes européennes. On s'intéresse au profil vertical de la température

étant la coordonnée verticale ascendante dont l'origine est située au niveau du sol. On assimile l'air troposphérique à un gaz parfait de masse molaire

et de masse volumique

. On note

le rapport

des capacités thermiques du gaz à pression et volume constants respectivement

. En outre,

désigne la constante des gaz parfaits. Dans l'exercice, on négligera la variation avec

du champ de pesanteur

dont la valeur sera prise à

. La pression est notée

; sa valeur au niveau du sol est

.
19. Donner l'équation d'état d'une masse d'air en faisant apparaître explicitement sa masse volumique

.
A)

20. Sachant que les mouvements verticaux des masses d'air sont des transformations thermodynamiques isentropiques, quelle relation vérifient la température

et la pression

d'une masse d'air identifiée lorsque celle-ci évolue verticalement?
A)

21. Quelle équation relie les variations avec

de la température et de la pression, respectivement

, pour une masse d'air identifiée?
A)

22. On admet que

. Déterminer la fonction

. Parmi les réponses proposées,

désigne la température au sol

.
A)

avec

23. Le profil vertical de la masse volumique s'écrit:

où

est un facteur et

la masse volumique au niveau du sol. Exprimer

.
A)

24. Donner les valeurs approximatives de

.
A)

Partie 5: Quelques aspects des forces centrales

On considère un corpuscule

(masse

) soumis à une force centrale attractive caractérisée par une énergie potentielle

étant la distance de

au centre attracteur

. Ce dernier est l'origine d'un référentiel

supposé galiléen. La force s'écrit:

ù

est le vecteur unitaire radial et

est une constante positive.
25. Quelle est la forme de

si son origine est prise pour

infiniment éloignés l'un de l'autre?
A)

26. On note

le moment cinétique, dans

, de

au point

. Que peut-on dire de l'évolution temporelle de

au cours du mouvement de

?
A) Le vecteur

change de direction mais sa norme est constante.
B) Le vecteur

ne change pas de direction et sa norme varie.
C)

est une constante vectorielle.
D) La norme et la direction de

ne sont pas constantes.
27. Quelle est l'expression de l'énergie mécanique

?
A)

28. Parmi les assertions suivantes relatives au vecteur

, où

est la quantité de mouvement de

, dans

, lesquelles sont exactes?
A)

29. Le corpuscule

est un satellite qui effectue des révolutions circulaires, de rayon

, autour du centre

de la Terre. Quelle est la norme

de la vitesse de

et quelle égalité relie son énergie cinétique et son énergie potentielle?
A)

30. Le satellite rentre dans l'atmosphère terrestre et est alors soumis à une force de frottement. Identifier les affirmations exactes.
A) En moyenne sur une révolution, le satellite ralentit.
B) Le vecteur représentant la force de frottement est de sens opposé au vecteur vitesse de

.
C) La norme de l'accélération du satellite augmente au cours du temps.
D) Le moment cinétique de

est toujours une constante vectorielle.

Partie 6: Diffraction de neutrons

Dans l'expérience de Zeilinger menée au laboratoire Laue-Langevin de Grenoble en 1988, on envoie des neutrons (masse

) sur une fente de largeur

. Le plan de la fente est perpendiculaire à la direction (axe

) des neutrons (cf. Figure 5). Les neutrons envoyés ont une vitesse

. On rappelle la valeur approximative de la constante de Planck,

. On néglige l'influence du champ de pesanteur terrestre.

Fig. 5

Quelle(s) unité(s), dans le Système International, peut-on attribuer à ?
A) Joule par seconde ( )
B) Joule seconde (J.s)
C) Joule (J)
D) Kilogramme mètre carré par seconde
Donner la valeur de la longueur d'onde de De Broglie d'un neutron?
A)
B)
C)
D)
On place un écran derrière la fente, parallèlement à son plan (voir Figure 5), à une distance . Pour cette valeur, on admet qu'on se trouve, avec une excellente approximation, dans une situation de diffraction à l'infini. Cette diffraction s'effectue selon la direction . Quelle est l'expression de l'échelle angulaire caractérisant cette expérience de diffraction de neutrons?
A)
B)
C)
D)
Calculer la valeur de . On exprimera cette valeur en secondes d'arc ('').
A)
B)
C)
D)
La valeur précédente de correspond au premier minimum de la figure de diffraction observée sur l'écran. Quelle est la position de ce premier minimum?
A)
B)
C)
D)
On reprend maintenant cette expérience de comptage de neutrons de la façon suivante: au lieu d'envoyer un très grand nombre de neutrons en une seule fois sur une durée très brève, on réalise une expérience de diffraction neutron par neutron. Précisément, on envoie de façon répétée ( fois), avec une période de répétition suffisamment élevée, un neutron. À chaque répétition, le neutron envoyé est indépendant de celui envoyé juste avant.
La figure 6, qui est le résultat d'une simulation numérique reproduisant cette expérience de diffraction, montre l'évolution de la distribution des impacts des neutrons sur l'écran pour quatre valeurs de . Donner les affirmations exactes parmi celles proposées ci-dessous.

Fig. 6 - Distribution des impacts des neutrons sur l'écran

A) La position d'un seul impact est complètement imprédictible et, au fur et à mesure que l'on envoie des neutrons indépendants, on reconstruit progressivement la figure de diffraction attendue.
B) Si la source qui émet les neutrons un par un se trouve à 5 m de la fente diffractante, il est indispensable d'avoir

pour être sûr de réaliser une expérience neutron par neutron.
C) Cette expérience ne donnerait pas des résultats analogues si elle était réalisée avec de la lumière.
D) La position d'un seul impact n'est pas complètement imprédictible.