2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
1 page d'avertissements (recto),
11 pages de texte (recto-verso) numérotées de 1 à 11
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT
L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.
ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM
Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).
POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES
Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, positionner celle-ci en position verticale avec les chiffres d'identification à gauche (le trait vertical devant traverser la totalité des barres de ce code).
EXEMPLES:
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE et ATTENTION vous devez noircir complètement la case en vue de la bonne lecture optique de votre QCM.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.
II est inutile de répondre à plus de 24 questions: la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.
A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A , B , C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge.
soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse, vous devez noircir l'une des cases .
soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.
soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées n'est bonne, vous devez alors noircir la case .
En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.
7) EXEMPLES DE RÉPONSES
Question 1: vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1
Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut:
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0
Question 3 : Une racine de l'équation est:
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2
Vous marquerez sur la feuille réponse :
QUESTIONS LIEES
1 à 5
6 à 8
9 à 15
16 à 23
24 à 32
33 à 36
Notations
Les lettres et désignent respectivement les ensembles des réels, des complexes et des entiers naturels.
Partie I
On note le sous-ensemble de (matrices carrées de dimension ), formé des matrices inversibles. On l'appelle le groupe linéaire d'ordre . La notation « » désigne le produit matriciel.
Question 1
A est un sous-espace vectoriel de
(B) n'est pas un sous-espace vectoriel de
C) est un groupe commutatif
(D) n'est pas un groupe commutatif désigne la matrice élémentaire dont tous les termes sont nuls, sauf désigne la matrice identité de .
Question 2
(A) Pour toute matrice élémentaire , la matrice est inversible et admet un inverse de la forme , avec .
B) Pour toute matrice élémentaire , la matrice n'est pas inversible.
(C) Pour toute matrice élémentaire , la matrice est inversible et admet un inverse de la forme , avec .
D) Pour toute matrice élémentaire , la matrice n'est pas inversible.
On appelle centralisateur de , noté , l'ensemble des matrices de qui commutent avec toute matrice inversible.
Question 3
On a :
A)
B)
C)
D)
Soit la matrice :
Question 4
A) La matrice est inversible, et
B) La matrice est inversible, et
C) La matrice est inversible, et
D) La matrice n'est pas inversible
Une matrice est dite nilpotente si et . On note le sous-ensemble des matrices de formé des matrices nilpotentes.
Question 5
A) La somme de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente
B) Le produit de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente
C) La somme de 2 matrices nilpotentes n'est jamais inversible
D) Si matrice nilpotente d'ordre , alors on a
Partie II
Soit une fonction continue et . On pose
Question 6
Soit un nombre réel, on a:
A)
B)
C)
(D)
On suppose que pour tout , et que la maximum de la fonction est égal à 1 . Soit .
Question 7
A) Pour tout entier , on a
(B) Il existe des nombres et vérifiant tels que pour tout
C) Pour tout entier vérifie
D) La suite admet pour limite 1
Soit une fonction continue, et le maximum de la fonction sur [0;1]
Question 8
On a :
A)
B)
C)
D)
Partie III
Pour tout entier , on pose
Question 9
A) La suite est croissante
(B) La suite est décroissante
C) La suite n'est ni croissante, ni décroissante
D) Il existe tel que la suite soit décroissante pour
Question 10
On a:
A)
(B)
(C)
D)
Question 11
A l'aide d'une intégration par parties, on montre que la suite satisfait la propriété :
A)
B)
C)
D)
Question 12
On en déduit que la suite vérifie :
(A)
B)
(C)
D)
Question 13
On déduit des résultats précédents
A)
(B)
C)
(3)
Question 14
On peut montrer que :
A) pour tout
B) pour tout
(C) pour tout
D) pour tout
Question 15
On déduit des résultats précédents que :
A)
(B)
C)
D)
Pour tout entier et tout nombre , on pose
Question 16
On a:
A)
B)
(C)
D)
Question 17
Pour , on a l'égalité
A)
B)
(C))
D)
Question 18
On en déduit :
A)
(B)
C)
D)
Pour tout entier , on pose
Question 19
A) La suite est croissante et convergente
(B) La suite est décroissante et convergente
C) La suite est croissante et divergente
D) La suite est décroissante et divergente
Soit un réel vérifiant .
Question 20
On peut montrer que :
A)
B)
C)
D)
Question 21
On en déduit:
A)
B)
C)
D)
Question 22
Pour tout entier , on a l'égalité :
A)
B)
C)
D)
Question 23
On peut ainsi en déduire que :
A)
B)
C)
D)
Partie IV
Soient et les racines n-ièmes de l'unité :
Soit . La notation désigne le coefficient binomial .
Question 24
On établit que :
A) si
B) si
C)
D) si
Question 25
Un calcul permet d'obtenir :
A)
B)
C)
D)
Question 26
Le produit vaut :
A)
B)
C)
D)
Dans toute la suite, désigne la fonction « partie entière de », et est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive.
Question 27
On a :
A)
(B)
(C))
D)
Question 28
De même,
A)
В)
En posant , on obtient ainsi
C)
D)
La notation signifie que le reste de la division euclidienne de par est . On souhaite distinguer les cas selon lesquels ou .
Question 29
On a la décomposition suivante :
A)
В)
C)
D)
Question 30
On obtient alors :
A)
В)
C)
D)
Question 31
On remarque que :
A)
B)
C)
D)
Question 32
Il en résulte que :
A)
B)
Finalement, on obtient :
C)
D)
Partie V
Soit . On considère le système d'inconnue :
où désigne la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive.
Question 33
A) Quels que soient , le système (S) n'admet pas de solution dans
B) Quels que soient , le système ( S ) admet une solution unique dans
C) Quels que soient , le système (S) admet une infinité de solutions dans
D) Il existe un sous-ensemble tel que le système ( S ) admet une solution si et aucune solution si
Question 34
Une solution de (S) est alors:
A)
B)
C)
D)
Question 35
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution de ( S ) soit réelle (i.e. ) est :
A) et
B) et
C)
D) et
Question 36
Une solution réelle de ( S ) est alors :
A)
B)
C)
D)
ENAC Mathématiques Sup 2014 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa
