J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENAC Mathématiques Sup 2006

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
Logo enac
🔗 Explorer
Banque
Autres
Année
2006
Filière
SUP
Matière
Maths
Autres SUPAutres 2006SUP MathsMaths 2006
2025_08_29_64af5bbd695ff158ba14g

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ÉLEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1
Ce sujet comporte (dans l'énoncé d'origine, pas dans cette version) :
  • 1 page de garde,
  • 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
  • 1 page d'avertissement
  • 8 pages de texte, numérotées de 1 à 8 .

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

À LIRE TRÈ́S ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple qui sera corrigé automatiquement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

  1. Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical matérialisant l'axe de lecture du code à barres (en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce code.

EXEMPLES :


2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

  1. A chaque question numérotée entre 1 et 36 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases .
    Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :
  • soit vous décidez de ne pas traiter cette question , la ligne correspondante doit rester vierge.
  • soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse vous devez noircir l'une des cases .
  • soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases et deux seulement.
  • soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées n'est bonne, vous devez alors noircir la case .

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1: vaut:
A) 3
B) 5
C) 4
D) -1
Question 2: le produit vaut :
A) -3
B) -1
C) 4
D) 0
Question 3: Une racine de l'équation est :
A) 1
B) 0
C) -1
D) 2
Vous marquerez sur la feuille réponse :
1 A B C D E
2 A
E
3 A B C D E

QUESTIONS LIEES

1 à 9
10 à 13
14 à 21
22 à 25
26 à 29
30 à 32
33 à 36

PARTIE I

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On considère une transformation qui à tout point d'affixe le nombre complexe non nul , associe le point d'affixe le nombre complexe vérifiant l'équation . On note la forme trigonométrique ou exponentielle du complexe .
Question 1 : La forme trigonométrique ou exponentielle de s'écrit
a)
b)
c)
d)
Question 2 : La partie réelle de s'écrit
a)
b)
c)
d)
Question 3 : La partie imaginaire de s'écrit
a)
b)
c)
d)
Question 4 : Dans cette question on suppose que est un nombre complexe donné , distinct de 1 et affixe d'un point . Pour un tel
a) on ne peut pas trouver , non nul, vérifiant l'équation
b) il est toujours possible de déterminer , non nul, vérifiant l'équation ( )
c) l'équation a une solution unique
d) l'équation ( ) admet deux solutions
Question 5 : Soit un complexe, distinct de 1, représenté sous forme cartésienne par le nombre , où et sont deux nombres réels. Pour un tel , on note un complexe, solution, s'il en existe, de l'équation . On a nécessairement
a) différent de 1 et non nul
b)
c)
d)
Question 6 : Soit un complexe, distinct de 1, représenté sous forme trigonométrique ou exponentielle par réel fixé. Pour un tel , on note un complexe, solution, s'il en existe, de l'équation . On a nécessairement
a) est différent de 1 ou non nul
b) est différent de 1 et différent de , où est un entier relatif
c)
d)
Question 7 : On suppose dans cette question que le point d'affixe le nombre complexe non nul décrit la demi-droite d'origine , privée de , de vecteur directeur tel que l'angle ( ) soit égal à . Le point d'affixe le nombre complexe vérifiant l'équation décrit alors
a) une demi-droite
b) le demi-axe ( )
c) le demi-axe
d) le cercle de centre et de rayon
Question 8 : Si le point , d'affixe , décrit le cercle de centre et de rayon 1, alors
a) on ne peut pas trouver de solution à l'équation ( )
b) où est un entier relatif
c) ou où est un entier relatif
d)
Question 9 : Si le point , d'affixe , décrit le cercle de centre et de rayon 1 privé du point d'affixe 1 , alors on a, désignant un entier relatif
a)
b) ou
c) ou
d) ou

PARTIE II

Soit une fonction, sa dérivée seconde et un réel non nul.
On considère l'équation différentielle du second ordre .
On note l'ensemble des fonctions réelles de la variable réelle deux fois continûment dérivables vérifiant l'équation ( ).
Question 10 : On a
a) la fonction qui au réel associe appartient à
b) la fonction nulle n'appartient pas à
c) la somme de deux fonctions de n'appartient pas nécessairement à
d) la produit d'un élément quelconque de par un réel appartient à
Soit un élément de et la fonction définie sur par :
Question 11 : La fonction
a) n'est pas dérivable sur
b) est dérivable sur et a pour dérivée
c) est dérivable sur et a pour dérivée
d) s'annule en 0 , de même que sa dérivée première
Question 12 : La fonction
a) n'appartient pas à puisqu'elle n'est pas dérivable sur
b) est deux fois dérivable sur mais n'appartient pas à
c) appartient à comme combinaison linéaire, à coefficients réels, d'éléments de
d) vérifie les conditions et
Question 13 : La fonction , solution de l'équation s'écrit pour
a)
b)
c)
d)

PARTIE III

On considère l'équation différentielle .
Soit la fonction qui à associe et la fonction qui à associe .
Question 14 : On désigne par et deux constantes réelles. La solution générale de l'équation ( ) est de la forme
a)
b)
c)
d)
Question 15 : La fonction
a) est définie uniquement sur
b) est indéfiniment dérivable sur
c) a pour limite 0 lorsque tend vers
d) a limite lorsque tend vers
Question 16 : La fonction
a) est toujours positive
b) est toujours négative
c) ne s'annule jamais sur
d) est positive ou nulle sur
Question 17 : La fonction
a) est définie sur puisque est définie sur
b) n'est définie que sur
c) est définie sur
d) est égale à car est toujours positive
Question 18 : La fonction a pour limite
a) 0 lorsque tend vers
b) lorsque tend vers
c) 0 lorsque tend vers 0
d) lorsque tend vers
Question 19 : La fonction
a) n'est pas dérivable sur
b) a pour dérivée la fonction définie sur par
c) a pour dérivée la fonction définie sur par
d) a pour dérivée la fonction définie sur par
Question 20 : La fonction vérifie pour tout appartenant à
a)
b)
c)
d)
Question 21 : La courbe représentative de la fonction
a) n'admet pas d'asymptote
b) admet une asymptote oblique d'équation
c) admet une asymptote verticale d'équation
d) admet une asymptote oblique d'équation

PARTIE IV

Soit la fonction définie sur par et la fonction définie sur [ 0,1 ] par .
On considère les intégrales et
Question 22 : On note la dérivée de la fonction et la dérivée de la fonction . On a
a) pour tout réel
b) pour tout réel
c) pour tout appartenant à l'intervalle
d) pour tout appartenant à l'intervalle
Question 23 : L'intégrale est égale à
a)
b)
c)
d)
Question 24 : Les intégrales vérifient
a)
b)
c)
d)
Question 25 : On a
a)
b)
c)
d)

PARTIE V

On considère l'équation différentielle du premier ordre
Question 26 : Soit une fonction dérivable ne s'annulant pas. On note l'équation sans second membre associée à ( ) et on désigne par une constante. On a
a) une primitive de la fonction est
b) une primitive de la fonction est
c) la solution générale de est de la forme
d) la solution générale de ( ) est de la forme
Question 27 : On suppose dans cette question et la suivante que . On a alors
a)
b)
c)
d)
Question 28 : La fonction vérifie
a)
b)
c)
d) où est une constante réelle
Question 29 : On obtient, et désignant des constantes réelles,
a) pour tout réel non nul
b) uniquement pour réel strictement positif
c) pour réel strictement positif et pour réel strictement négatif
d) pour tout réel non nul

PARTIE VI

Soit la fonction définie sur par :
On note (1) l'équation . désigne un entier naturel.
On note enfin l'intervalle pour tout entier naturel.
Question 30 : La fonction
a) a pour dérivée la fonction définie sur par
b) a pour dérivée la fonction définie sur par
c) a pour dérivée la fonction définie sur par
d) a pour dérivée la fonction définie sur par
Question 31 : La fonction est
a) strictement croissante et positive sur l'intervalle
b) strictement croissante et positive sur l'intervalle comme produit de deux fonctions strictement croissantes et positives sur cet intervalle
c) strictement décroissante et négative sur l'intervalle
d) strictement décroissante sur l'intervalle ] [ et strictement croissante sur l'intervalle
Question 32 : L'équation (1)
a) n'admet pas de solution dans l'intervalle
b) admet au moins deux solutions dans l'intervalle
c) admet une solution unique dans l'intervalle , qui appartient, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, à l'intervalle
d) admet une solution unique dans l'intervalle et on a

PARTIE VII

L'espace est rapporté à sa base canonique . Soit l'endomorphisme de qui à tout triplet ( ) de réels associe le triplet ( ).
Question 33 : La matrice de par rapport à la base s'écrit
а)
b)
c)
d)
Question 34 : L'endomorphisme est de rang :
a) 3 car a 3 colonnes non nulles
b) au plus 2 car a une ligne nulle
c) 2 car le rang est égal au nombre de lignes non nulle de l'une des représentations matricielles de l'endomorphisme
d) 3 car est défini sur un espace vectoriel de dimension 3
Question 35 : Le noyau de l'endomorphisme a pour dimension :
a) 0 car
b) 1 car
c) 2 car la matrice de a 2 colonnes non nulles linéairement indépendantes
d) 3 car est défini sur un espace vectoriel de dimension 3
Question 36 : Les sous-espaces image et noyau de vérifient :
a)
b) et sont en somme directe car
c) est un sous-espace vectoriel
d) est un sous-espace vectoriel de
ENAC Mathématiques Sup 2006 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa