CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

• 1 page de garde,
• 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
• 1 page de consignes
• 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7 . (dans la version originale, pas celle-ci)

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

À LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

ATTENTION, IL NE VOUS EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1. Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette correspondant à l'épreuve que vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).

POSITIONNEMENT DES ÉTIQUETTES

EXEMPLES :

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneusement.
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des questions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 20 questions parmi les 30 proposées.
Il est inutile de répondre à plus de 20 questions : la machine à lecture optique lira les réponse en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 20 questions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6. A chaque question numérotée entre 1 et 30 , correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30 , vous vous trouvez en face de 4 possibilités :

• soit vous décidez de ne pas traiter cette question , la ligne correspondante doit rester vierge.
• soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse vous devez noircir l'une des cases .
• soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes, vous devez noircir deux des cases et deux seulement.
• soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées n'est bonne, vous devez alors noircir la case .

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7. EXEMPLES DE RÉPONSES

Vous marquerez sur la feuille réponse :

QUESTIONS LIEES

PARTIE I

1. Le réel vérifie :
   a)
   b)
   c) La fonction qui à associe est croissante sur
   d) lorsque tend vers
2. Si, pour un réel strictement positif et un réel positif ou nul , la suite ( ) tend vers lorsque tend vers , alors :
   a) lorsque tend vers
   b) lorsque tend vers
   c) Il existe un entier tel que pour
   d) ou bien
3. Soit deux réels vérifiant
   a)
   b)
   c)
   d)
4. Dans le cas où , pour tout strictement positif
   a) La suite ( ) est convergente
   b) , donc la suite ( ) converge vers 0
   c) Il existe un entier tel que la suite soit monotone et
   d)

PARTIE II

14. On a :
    a) Toutes les fonctions de tendent vers 0 lorsque tend vers
    b) Pour , il existe au moins une fonction de qui n'est pas bornée sur
    c) Il existe une fonction de telle que pour tout , la fonction tend vers 0 lorsque tend vers
    d) Il existe au moins une fonction de qui est périodique
15. On note l'ensemble des fonctions de telles que . L'ensemble
    a) contient un élément et un seul pour tout
    b) contient au moins deux éléments pour un nombre fini de valeurs de
    c) est vide pour certaines valeurs de
    d) contient un élément et un seul sauf pour un nombre fini de valeurs de
16. On appelle l'élément de tel que . On note, pour tout positif ou nul, la partie réelle de . La fonction , ainsi définie, est telle que :
    a)
    b)
    c) Les points , sont des extrema de
    d) Les points , sont des extrema de
17. On revient au cas général où . On constate que pour tout , la fonction a une limite quand tend vers . On a alors
    a) est une fonction, non constante, de
    b) La fonction qui à associe appartient à
    c) pour tout et tout
    d) pour tout

PARTIE III

18. Les racines cubiques de 1 sont
    a)
    b) et conjugué de
    c)
    d)

19. Les complexes et vérifient :
    a) et
    b) et
    c) et
    d) et sont supérieurs à 1
20. Le nombre , pour tout entier strictement positif, peut s'écrire sous la forme où sont des suites de réels telles que:
    a) sont des suites d'entiers strictement positifs
    b) au moins une des suites contient des nombres réels non rationnels
    c)
    d)
21. Pour tout entier strictement positif, si l'on désigne par la matrice unicolonne , où , sont les suites définies dans la question III.20, on a la relation matricielle avec :
    a)
    b)
    c)
    d)
22. La matrice , définie dans la question III.21, est :
    a) inversible car
    b) inversible car
    c) inversible car son déterminant est à valeurs non entières
    d) non inversible car son déterminant est non nul
23. La matrice , définie dans la question III.21, est :
    a) symétrique car elle est inversible
    b) de rang 3 donc symétrique
    c) de rang au moins égal à 2 car les deux premières colonnes sont indépendantes
    d) de inférieur ou égal à 2 car n'est pas inversible
24. Pour tout réel, le déterminant de la matrice ( ), où désigne la matrice unité dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels et la matrice définie dans la question III.21, s'écrit :
    a)
    b)
    c)
    d)
25. Le polynôme , défini dans la question III. 24
    a) admet trois racines réelles car tout polynôme de degré à coefficients réels admet racines réelles
    b) n'admet aucune racine réelle
    c) admet au moins une racine réelle car tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle
    d) admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées
26. Les racines du polynôme , défini dans la question III.24, vérifient, si l'on note
    a)
    b)
    c)
    d)

PARTIE IV