Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend:

Soit l'espace vectoriel des fonctions réelles définies sur et l'ensemble des fonctions continues sur , sous espace vectoriel de . Soit une fonction continue sur . A toute fonction appartenant à on associe la fonction définie par:

On définit ainsi une application de dans

Question 1: étant donnée, pour que appartienne à , la fonction doit vérifier, dans le cas où ne s'annule pas
a) continue
b)
dans le cas où s'annule
c)
d) g' s'annule aux zéros de et est prolongeable par continuité en ces points.

Question 2: Dans le cas où et la fonction
a) ne vérifie pas les conditions nécessaires de la question 1
b) vérifie les conditions nécessaires de la question 1 et dans le cas où et la fonction
c) vérifie les conditions nécessaires de la question 1
d) ne vérifie pas les conditions nécessaires de la question 1

Question 3: La fonction étant fixée, la fonction est reliée à la fonction par:
a)
b)
c)
d)

On considère le cas particulier où les fonctions et g sont définies respectivement par :

et on note fla fonction de telle que , si elle existe.
Question 4: La fonction
a) n'est pas prolongeable par continuité en 0
b) est prolongeable par continuité en 0 par 1
c) est prolongeable par continuité en 0 par 0
d) est prolongeable par continuité en 0 par-1

Question 5: Le graphe de la fonction , dans un repère orthonormé, est symétrique par rapport
a) au point ( )
b) au point ( )
c) à la droite
d) à la droite

Question 6: Sur l'intervalle la fonction est :
a) croissante puis décroissante
b) décroissante
c) croissante
d) monotone

Question 7: La limite de lorsque tend vers
a) n'existe pas
b) vaut zéro et la courbe admet
c) une asymptote
d) une branche infinie parabolique.

Question 8: L'équation de la tangente au graphe de la fonction au point( ) s'écrit
a)
b)
c)
d)

On revient au cas général où est une fonction fixée continue sur .
On note la primitive de la fonction s'annulant en

Question 9: Les fonctions et vérifient et
a)
b)
c)
d)

Dans toute la suite de cette partie, la fonction considérée sera définie par:
.
On considère l'espace vectoriel , sous-espace vectoriel de , constitué des fonctions telles que où et sont des réels quelconques.
Question 10: La famille de fonctions suivantes forme une base de l'espace
a)
b)
c)
d)

Question 11: Reprenant les notations de la question 10 et l'espace vectoriel étant rapporté à la base avec et , la matrice , où est une constante donnée, représente matriciellement la restriction de à l'espace lorsque est rapporté à la base :
a)
b)
c)
d)
n étant un entier donné, on désigne par l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
On considère les fonctions
Question 12: Pour entier naturel, la fonction image par de la fonction vérifie :
a)
b)
c)
d)

Question 13: Pour la fonction définie à la question 12 s'écrit, désignant le nombre d'arrangements de ( ) éléments parmi éléments :
a)
b)
c)
d)

Question 14: La matrice de la restriction de l'application à par rapport à la base canonique de et à la base de est
a) carrée d'ordre ( ) et diagonale
b) triangulaire supérieure et carrée d'ordre n
c) inversible car de déterminant égal à (-1)
d) de déterminant égal à 1 donc de rang n .

Soit P le polynôme à coefficients réels à une indéterminée X défini par

Question 15: Le système d'équation: a pour solution :
a)
b)
c)
d)

Question 16: Le nombre complexe est racine du polynôme :
a)
b)
c)
d)

Question 17: Le polynôme est divisible par le polynôme défini par:
a)
b)
c)
d)

Question 18: La fraction rationnelle se décompose en éléments simples sur le corps des réels sous la forme :
(a)
b)
c)
d)

Question 19: A étant un réel positif fixé, l'intégrale vaut :
a)
b)
c)
d)

Soit fla fonction de la variable réelle définie par
et
Question 20: La courbe représentant dans un plan rapporté à un repère orthonormé d'axes ' , y'Oy est symétrique par rapport :
a) au point car f est paire
b) au point ( )
c) à la droite car est impaire
d) à la droite

Question 21: La fonction
a) est continue sur car une fonction définie en tout point de est continue sur
b) n'est pas continue en 0 car ln n'est pas définie en 0
c) est continue sur
d) est continue sur

Question 22: La limite de lorsque tend vers
a) n'existe pas
b) est nulle
c) est égale à
d) est égale à

Question 23: Pour tout , on peut écrire sous la forme
a)
b)
c)
d)

Question 24: La limite lorsque tend vers 0 , de la fonction
a) est nulle et la courbe est tangente à l'axe ' au point
b) est égale à
c) est égale à
d) n'existe pas

Question 25: Le développement limité à l'ordre de la fonction tlnt au voisinage de 1 s'écrit, la fonction tendant vers 0 lorsque tend vers 1
a)
b)
c)
d)

Question 26: Le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la fonction est
a)
b)
c) avec
d)

a) dérivable sur *
b) dérivable sur car continue sur tout point de et a pour dérivée si elle existe
c) pour et
d) pour et

Soit la fonction définie sur par

Question 28: On a
a)
b) et
c) est croissante puis décroissante sur
d) est strictement croissante sur

Question 29: La fonction est
a) positive sur ] 0, 1 [ et négative sur ] car il en est de même de
b) négative sur ] 0,1 [ et positive sur ] [ car de même signe que et la fonction est
c) négative sur
d) négative ou nulle sur et positive ou nulle sur

Question 30: Soit g la fonction de la variable réelle définie par . On a
a) est définie sur ; paire et -périodique
b) g est définie sur ; impaire et -périodique
c) car
d) g est prolongeable par continuité sur