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E3A Mathématiques PSI 2025

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Polynômes et fractionsSuites et séries de fonctionsRéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesEquations différentielles
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Banque
E3A
Année
2025
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2025PSI MathsMaths 2025
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Question préliminaire

Soit la fonction réelle de la variable réelle définie par :
  1. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle et en donner la représentation graphique dans le plan muni d'un repère.
Soit .
2. Déterminer les points critiques sur de la fonction .
3. En déduire que la fonction n'admet pas d'extremum local sur .
4. Soit le disque fermé de centre O et de rayon 2 : .
4.1. Justifier que admet dans des extrema globaux.
4.2. Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre O et de rayon 2.
4.3. Soit un point du cercle de centre O et de rayon 2 : il existe donc tel que . Démontrer que : .
4.4. En déduire les extrema globaux de sur .

EXERCICE 2

On considère l'équation :
où est une fonction inconnue de classe sur .
  1. Soit de classe une solution de . Calculer .
  2. On cherche une solution de développable en série entière et telle que .
On suppose qu'il existe tel que, .
2.1. Montrer que l'on a:
2.2. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que : .
2.3. Justifier alors que la fonction est définie sur .
3. Soit une fonction de classe sur solution de . On pose, pour tout réel, .
3.1. Calculer et .
3.2. Prouver que est solution sur de l'équation
d'inconnue la fonction de classe sur .

3.3. Une équation différentielle

3.3.1. Résoudre sur l'équation différentielle :
3.3.2. Justifier que les solutions sont prolongeables par continuité en 0 .
3.4. Démontrer que, pour tout réel , la fonction est solution de sur .
On admet que ce sont les seules solutions de sur tout entier.
3.5. Démontrer qu'il existe un réel tel que :
3.6. Déterminer alors une expression de à l'aide des fonctions usuelles.

EXERCICE 3

Soient un nombre réel, un entier naturel supérieur ou égal à 2 et la matrice de définie par:
On rappelle que si alors désigne la transposée de la matrice .
On munit l'espace vectoriel de son produit scalaire canonique : .
On note enfin la matrice de dont tous les éléments sont égaux à 1 .
  1. Déterminer une base de et le rang de la matrice .
  2. Déterminer une base de .
  3. Prouver que la matrice est diagonalisable dans .
  4. Déterminer les sous-espaces propres de la matrice et une matrice diagonale semblable à .
  5. Démontrer que et sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans .
  6. Justifier que .
  7. Vérifier que la matrice est diagonalisable dans et déterminer une matrice diagonale semblable à .
  8. Pour tout couple ( ) de vecteurs de , on pose .
    8.1. Soit un vecteur de . Montrer que l'application est une forme linéaire sur .
    8.2. Montrer que: .
    8.3. Justifier qu'il existe une matrice , orthogonale, telle que :
où l'on a posé et .
On ne déterminera pas la matrice .
8.4. Déterminer les valeurs de pour lesquelles l'application définit un produit scalaire sur .

EXERCICE 4

Questions de cours

  1. Soit une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre . Rappeler la loi de , son espérance et sa variance.
  2. Soient et deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé ( ). Rappeler la définition de « et sont indépendantes».
Soient et deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé ( ) et telles que :
  • il existe tel que avec .
  1. Soit . Montrer que .
  2. Étude de la variable aléatoire
    4.1. Dans quel ensemble la variable aléatoire prend-elle ses valeurs?
    4.2. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
    4.3. Soient et deux entiers naturels.
    4.3.1. Lorsque , calculer .
    4.3.2. On prend . Démontrer qu'il existe un scalaire tel que : .
  3. On pose et où désigne le plus petit des deux réels et .
    5.1. Dans quels ensembles les variables aléatoires et prennent-elles leurs valeurs?
    5.2. Calculer, pour tout entier naturel , la valeur de .
    5.3. En déduire la loi de la variable aléatoire .
    5.4. Soient et . Calculer la probabilité de l'évènement ( ) .
On pourra distinguer les deux cas et .
5.5. En déduire la loi de .
5.6. Étudier l'indépendance des deux variables aléatoires et .

FIN

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