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E3A Mathématiques PSI 2022

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Polynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSéries et familles sommablesIntégrales généralisées
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Banque
E3A
Année
2022
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2022PSI MathsMaths 2022
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

  1. Déterminer deux réels et tels que, pour tout entier naturel non nul, on a :
  1. Déterminer le nombre réel tel qu'il existe une variable aléatoire à valeurs dans vérifiant :

3. Espérance et variance de

3.1. Après avoir justifié son existence, déterminer l'espérance de la variable aléatoire . On pourra utiliser l'égalité : afin d'introduire un télescopage.
3.2. Déterminer .
3.3. En déduire la variance de la variable aléatoire .

EXERCICE 2

Soient un entier naturel non nul et .
  1. Soient un réel et un entier non nul. Donner, sans démonstration, une autre expression de .
  2. Soit un entier non nul.
Déterminer, dans , le reste et le quotient de la division euclidienne de par .
3. Soit .
Montrer qu'il existe un unique polynôme de tel que :
On définit ainsi une application .
4. Prouver que est un endomorphisme de .
5. Montrer que est un automorphisme de et déterminer, pour tout de , le polynôme à l'aide de et de ses dérivées.
6. Soit la matrice de dans la base canonique de . Déterminer et .
7. Déterminer les spectres des matrices et .
8. Les matrices et sont-elles diagonalisables?
9. Soit une racine d'ordre de multiplicité d'un polynôme de . À quelles conditions est-il racine de et avec quel ordre de multiplicité ? On pourra étudier les cas et .
10. Déterminer les sous-espaces propres de .
11. Montrer que les sous-espaces propres de sont aussi les sous-espaces propres de .

EXERCICE 3

1. Question de cours

Soit une fonction continue sur , à valeurs réelles et -périodique.
Montrer que: .
On se propose de déterminer des fonctions de classe sur et vérifiant, pour tout réel , la relation :
  1. On suppose qu'il existe une fonction , développable en série entière, de rayon de convergence non nul, vérifiant , sous la forme et telle que .
    2.1. Prouver que et déterminer pour tout une relation entre et .
    2.2. Déterminer alors pour tout entier naturel .
    2.3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction ainsi obtenue.
Soit la fonction définie sur par:

3. Quelques propriétés de la fonction

3.1. Étudier la parité de la fonction .
On pourra utiliser le changement de variable et la question de cours.
3.2. Pour tout couple ( ) de , on pose .
3.2.1. Justifier que est sur .
3.2.2. Prouver que pour non nul, la fonction existe et est continue sur .
3.2.3. Soit un segment de . Montrer que pour tout entier non nul, il existe un réel positif tel que :
3.2.4. En déduire que est de classe sur .
3.2.5. Donner pour tout réel et tout une expression de sous la forme d'une intégrale.
3.3. Démontrer que vérifie la relation (**).

4. Développement en série entière de

4.1. Donner le développement en série entière au voisinage de zéro de la fonction exponentielle et son domaine de validité.
4.2. En utilisant la question précédente, montrer qu'il existe une suite de réels tels que :
où s'exprime simplement à l'aide de l'intégrale .
On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont bien vérifiées.
4.3. Calculer et .
4.4. Soit . Déterminer une relation de récurrence entre et .
4.5. En déduire, pour tout entier naturel , une expression de en fonction de .
4.6. Comparer alors les fonctions et .

EXERCICE 4

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre , à coefficients réels.
et sont respectivement la matrice nulle et la matrice unité de .
On note enfin l'ensemble des matrices orthogonales de .

1. Question de cours

Démontrer que est stable pour la transposition et pour la multiplication matricielle.

Partie 1

  1. Soient et deux éléments de et un réel.
On considère les matrices par blocs de taille :
2.1. Calculer et .
2.2. Démontrer que et ont le même polynôme caractéristique.
3. Justifier que pour toute matrice , la matrice est diagonalisable dans une base orthonormale de muni de son produit scalaire canonique.
4. En déduire qu'il existe une matrice orthogonale telle que : .

Partie 2

On note l'ensemble des matrices de pour lesquelles il existe une matrice dans vérifiant : . Une telle matrice sera dite orthotransposable.
On rappelle que si est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de et si est le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de , on a :
  1. Montrer que est inclus dans .
  2. Démontrer que : et .
  3. Soit .
Prouver qu'il existe une matrice , une matrice diagonale et une matrice telles que :
  1. Cas on démontre que toute matrice de est orthotransposable
    8.1. Déterminer toutes les matrices à la fois orthogonales et diagonales de .
    8.2. On considère le sous-espace vectoriel de .
Déterminer alors une matrice orthogonale et diagonale telle que :
8.3. En utilisant la question 7 , démontrer que toute matrice de est orthotransposable.
9. On revient au cas général et on suppose à présent que est impair
Pour toutes matrices et de , on note .
9.1. Montrer que si , alors [ ] est semblable à son opposée.
9.2. En déduire que si , alors .

FIN

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