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E3A Mathématiques PC 2024

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
E3A
Année
2024
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2024PC MathsMaths 2024
2025_08_29_a620fc4662eeb8184cfcg
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit un entier naturel non nul.
On note l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à . Pour tout , on note et la base canonique de .
Pour tout couple de polynômes de , on pose et on rappelle que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
Soit l'application définie sur par :
  1. Montrer que est une forme linéaire sur .
  2. Déterminer pour tout .
  3. Déterminer la dimension de .
  4. Prouver qu'il existe une base , que l'on ne cherchera pas à expliciter, de , dont le premier vecteur est .
  5. Montrer que :
    i) et sont deux sous-espaces orthogonaux,
    ii) .
  6. Soit un réel. On considère l'application définie sur par :
6.1. Vérifier que est un endomorphisme de .
6.2. Soit . Calculer .
6.3. Déterminer la matrice de dans une base de adaptée à la décomposition obtenue aux questions 4. et 5.
6.4. Déterminer les valeurs propres de .
6.5. L'endomorphisme est-il diagonalisable?
6.6. Justifier que est un automorphisme de .
6.7. Pour tous réels et , préciser .
6.8. Déterminer .

EXERCICE 2

On considère une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé ( ) et qui suit la loi de Poisson de paramètre .

1. Questions de cours

1.1. Rappeler sans démonstration la loi de , son espérance et sa variance.
1.2. Écrire les développements en séries entières des fonctions sh et ch ainsi que leurs domaines de validité.
1.3. Soient et deux variables aléatoires discrètes sur .
Rappeler la définition de « et sont indépendantes».
2. Soit une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que et définie par :
2.1. Exprimer les événements et à l'aide d'événements où .
2.2. En déduire la loi de et son espérance.
On donnera les résultats en utilisant les fonctions exp, sh, et ch.
3. Soit une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que , indépendante de et telle que :
On pose .
3.1. Préciser .
3.2. Soit un entier naturel.
En utilisant le système complet d'événements ( ), exprimer la probabilité à l'aide de probabilités d'événements et où .
3.3. Déterminer la loi de .
3.4. Quelle est la probabilité que prenne des valeurs paires?
On donnera le résultat en utilisant les fonctions , et .

EXERCICE 3

Question de cours

  1. Soit un réel positif. Comparer et .
Soit .
On se propose d'étudier la série de terme général .
2. On pose pour tout .
2.1. Justifier que la fonction est dérivable sur [ [ et déterminer sa dérivée.
2.2. Justifier que est dérivable sur et déterminer .
2.3. Montrer que l'on a : .
2.4. En déduire que pour tout entier :
  1. On pose, pour tout .
Prouver que l'on a: .
4. Convergence de l'intégrale
4.1. Démontrer que est intégrable sur .
4.2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer alors que converge.
5. Démontrer, à l'aide d'un changement de variable, que l'intégrale converge.
6. En déduire que la série de terme général converge.
7. Prouver que la série de terme général converge absolument.
8. Déduire des questions précédentes que la série converge.
9. On suppose que la série est convergente.
9.1. Montrer qu'alors la série est convergente.
On pourra utiliser la question de cours.
9.2. Prouver que l'intégrale converge.
On procédera comme à la question 4.2.
9.3. On admet alors, en procédant comme précédemment, que la série est convergente.
Conclure sur la nature de la série .
On pourra utiliser la formule de duplication : .

EXERCICE 4

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
  1. Soient et deux éléments de .
On note : et , où et .
Prouver que la série est absolument convergente.
2. On pose pour tous et dans .
2.1. Montrer que : est le polynôme nul.
2.2. Démontrer alors que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .

3. Quelques calculs de sommes

3.1. Rappeler l'ensemble de définition de la fonction et sa somme.
3.2. Justifier que la série converge pour .
3.3. Exprimer à l'aide de la fonction et en déduire que est de classe sur .
3.4. Soit . Exprimer à l'aide des fonctions usuelles, et .
3.5. Soit un entier naturel, on pose . Calculer et . On pourra utiliser les questions précédentes avec une valeur de bien choisie. On admettra que et .
4. On cherche à calculer la distance du vecteur au sous-espace vectoriel dans muni du produit scalaire défini dans la question 2.
4.1. Déterminer les réels et tels que soit orthogonal à 1 et à .
4.2. Prouver que l'ensemble possède un minimum.
4.3. En déduire la distance recherchée.

FIN DU SUJET

ÉLÉMENTS DE CORRECTION

EXERCICE 1

  1. Déjà, . De plus, est linéaire par linéarité de l'intégrale. Donc est bien une forme linéaire sur .
  2. Soit .
donc
7. Comme est une forme linéaire non nulle. Donc est un hyperplan de qui est de dimension . Donc .
8. D'une part, le vecteur est bien dans car 1 est impair. De plus, est un vecteur non nul, donc forme une famille libre de qui est de dimension finie. D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter la famille ( ) en une base de .
9. i) Soit :
donc et sont orthogonaux.
ii) Comme ces deux sous-espaces sont orthogonaux, ils sont en somme directe. Or, , donc .
10. Soit un réel. On considère l'application définie sur par:
10.1. Soient et :
par linéarité de . Donc est linéaire.
Puis, pour tout , car . Donc est bien un endomorphisme de .
10.2. Soit .
car .
10.3. Notons la matrice de taille demandée :
10.4. La matrice étant triangulaire inférieure, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Donc la seule valeur propre de est 1 .
10.5. Si était diagonalisable, serait semblable à l'identité. Or, la seule matrice semblable à l'identité est elle-même. Donc est diagonalisable si et seulement si .
10.6. La matrice est de déterminant 1 donc inversible, donc est un automorphisme de .
10.7. Soit et deux réels, et .
10.8. Avec la question précédente, on remarque que . Donc .

EXERCICE 2

  1. 1.1. On a et pour tout . On sait que
    1.2. Pour tout , on a et
    1.3. Deux variables aléatoires sont dites indépendantes pour tout on a . On peut aussi dire
  2. 2.1. On a et on a: et .
    2.2. De la question précédente, on déduit :
De même, . On reconnaît une loi de Bernoulli, on a donc .
3. Étude de la variable aléatoire .
3.1. On a .
3.2. On sait que les évènements forment un système complet d'évènements.
Ainsi :
par indépendance.
3.3. De la question précédente, on déduit :
  • Si , alors
  • Si , alors
    3.4. L'évènement '' prend des valeurs paires'" ] s'écrit : .
On a donc (réunion d'évènements incompatibles) :

EXERCICE 3

Soit .
On se propose d'étudier la série de terme générique
  1. Soit , alors
  1. On pose pour tout .
    2.1. La fonction est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables sa dérivée sur est .
    2.2. est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Pour tout , on a .
    2.3. Par inégalité triangulaire, pour tout .
    2.4. Soit et soit . On applique le théorème des accroissement finis entre et : Il existe tel que . Or, d'après la question précédente, on a .
  2. On pose, pour tout .
On a pour tout et donc, par inégalité triangulaire et d'après la question précédente :
  1. 4.1. La fonction est intégrable sur puisque .
    4.2. La fonction est continue sur . Soit . Le crochet admet une limite finie lorsque tend vers . On en déduit que les intégrales et ont même nature. Comme l'intégrale converge, d'après la question précédente, la fonction est bien intégrable.
    On peut aussi écrire : Soit .
    Par une intégration par parties, .
    Le crochet possède une limite finie lorsque tend vers l'infini. Il en résulte que l'intégrale converge.
  2. En effectuant le changement de variable (qui est et strictement croissant car ) les intégrales et ont même nature. On en déduit que l'intégrale converge.
  3. La série converge puisque sa somme partielle et que l'intégrale converge.
  4. D'après la question 3., la série converge absolument car .
  5. Comme les séries et convergent, la série converge en tant que différence de deux séries convergentes.
  6. On suppose que la série est convergente.
    9.1. Puisque l'on a : et d'après ce que l'on a supposé, la série est convergente par le théorème de comparaison des séries à termes positifs.
    9.2. Soit , par une intégration par parties, on a
Comme le crochet admet une limite finie, on en déduit que les deux intégrales sont de même nature. Or donc l'intégrale est convergente. On en déduit que est convergente.
9.3. En utilisant alors la formule on obtient que la série est convergente, ce qui est faux.
Conclusion : la série n'est pas absolument convergente

EXERCICE 4

Soit l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
  1. Soient et deux éléments de .
On note : et , où et .
On a et , la série est donc absolument convergente.
2. On pose pour tous et dans .
2.1. L'implication est claire. Soit tel que , alors . La suite des sommes partielles de la série est croissante, positive et de limite nulle, elle est donc nulle. On en déduit que pour tout ce qui implique . Le polynôme admet une infinité de racines, il est donc nul.
2.2. L'application est symétrique, linéaire par rapport à la première coordonnée donc bilinéaire.
Pour tout est une série convergente à termes positifs, sa somme est donc positive. On a montré à la question précédente, que la forme était, de plus, définie positive. On définit donc bien un produit scalaire sur .
3. 3.1. La fonction est définie sur et sa somme vaut .
3.2. Soit , on écrit , la série est donc convergente lorsque appartient à c'est-à-dire sur .
3.3. Soit la fonction définie par . Soit , on écrit , on a alors . La fonction est à l'intérieur de son intervalle ouvert de convergence et pour tout , on a est donc sur par composition.
3.4. Soit . On a donc et .
On peut aussi écrire , on a alors puis .
3.5. Soit un entier naturel, on pose .
On remarque que et . En utilisant les expressions trouvées à la question précédente, on obtient et .
On peut aussi utiliser . On a et .
On admettra que et .
4. On cherche à calculer la distance du vecteur au sous-espace vectoriel dans muni du produit scalaire défini dans la question 2.
4.1. On a
est donc orthogonal à 1 et à .
4.2. L'ensemble possède un minimum car est de dimension finie et ce minimum est le carré de la distance de à . Il est réalisé en le projeté orthogonal de sur . Or, on a vu à la question précédente que le projeté orthogonal de sur est , on a donc
4.3. D'après Pythagore, on a
On a donc

La distance recherchée est .

COMMENTAIRES

- Commentaires généraux

Tout d'abord, comme l'an dernier, les mêmes remarques générales :
  • Les correcteurs ont signalé à de nombreuses reprises un nombre important de copies mal ordonnées, mal présentées, trop lourdement raturées (la rédaction de la copie ne doit pas occasionner un jeu de piste pour l'examinateur) : les étudiants doivent s'appliquer à présenter une copie claire et propre. Les résultats doivent être clairement mis en évidence.
    Nous nous interrogeons d'ailleurs sur l'opportunité de mettre des points de présentation.
    Il semble que les recherches au brouillon ne sont pas dans la panoplie des méthodes à utiliser pour la réalisation de la composition.
  • Trop de candidats utilisent des abréviations utilisées par leurs professeurs mais qui n'ont pas toujours de sens pour le correcteur : il vaut mieux les éviter.
  • De même, il est préférable de ne pas écorcher le nom et l'orthographe des théorèmes cités : on voit par exemple trop souvent le «le théorème spectrale», «la loi de poisson» etc.
  • Il est rappelé que les copies doivent être correctement numérotées, dans un ordre cohérent.
Dans plusieurs copies les questions ne sont pas traitées dans l'ordre : il n'est pas rare de voir en fin de copie ou en fin de feuille double, des réponses à des questions ébauchées plus haut ou qui avaient été passées.
Parfois, on obtient des réponses à des questions d'un exercice au cours de la résolution d'un autre exercice!
La double numérotation est assez souvent omise : au lieu de la question 2.4., on lit question 4., puis vient la question 3 ..
  • Notons que nous avons de nouveau rencontré cette année des copies quasiment illisibles et donc lourdement pénalisées.
  • Signalons aussi que l'orthographe fantaisiste donne une très mauvaise impression à la lecture de la copie.
  • Il semble judicieux d'éviter d'utiliser des expressions telles que «il est trivial que», «par une récurrence immédiate», «il est clair que» «forcément» etc... qui indisposent le correcteur : toute proposition énoncée dans une copie se doit d'être démontrée.
  • De la même façon, les examinateurs ne goûtent guère des arguments inventés ou fallacieux pour arriver à toute force au résultat annoncé dans l'énoncé : la donnée d'un tel résultat permet en général de poursuivre la résolution de l'exercice sans avoir pu le démontrer : nous apprécions le candidat qui admet clairement le résultat en question pour continuer.
  • Il ne suffit pas d'écrire «je peux utiliser le théorème car ses hypothèses sont vérifiées »... , encore faut-il les vérifier!
  • Cette année, nous avons avons particulièrement remarqué :
  • un mauvais usage des parenthèses :
    dans les calculs d'intégrales : ,
    -> dans les sommes: ,
    -> dans les factorielles : au lieu de ( )! etc.
  • la fréquente absence des éléments différentiels dans les intégrales,
  • l'utilisation de symboles mathématiques comme des abréviations (par exemple : )
  • La distinction entre «fonction» et «image d'un réel par une fonction» n'est pas souvent faite : très souvent on rencontre des expressions du type «sin est dérivable et sa dérivée vaut ...»
  • Nous conseillons fortement aux candidats de prendre le temps de se relire car cela permet souvent d'éviter des erreurs basiques : par exemple, dans un développement limité, les deux termes de l'égalité ne tendent pas vers la même limite, etc...
  • Enfin, un exemple même s'il permet souvent d'aider dans la perception du problème, ne permet pas de démontrer un résultat général.
Les quatre exercices constituant le sujet permettaient de parcourir les parties les plus classiques du programme de deuxième année de classe préparatoire PC .
  • Rappelons qu'une lecture attentive de la totalité du sujet permet souvent de comprendre l'architecture et la démarche proposée dans chaque exercice.
  • Un trop grand nombre d'étudiants ne maîtrise pas les notions de base d'algèbre linéaire, même de première année, ainsi que les théorèmes principaux d'analyse du programme de deuxième année de PC et espèrent cependant venir à bout des questions posées en utilisant des recettes toutes faites bien souvent mal comprises.
    En exemple, le Théorème du rang appliqué à une matrice de prend parfois des formes étranges : ou encore, !
  • Nous constatons de nouveau une très grande maladresse dans les calculs (parfois très simples) qui sont trop rapidement abandonnés :
  • Les opérations sur les puissances posent encore beaucoup de problème à nombre de candidats.
  • On trouve encore trop d'équivalents à .
  • Les quantificateurs, les symboles sont trop souvent malmenés, voire oubliés lorsqu'ils sont fondamentaux.
  • Rappelons que lorsqu'il y a plusieurs variables qui interviennent, il est judicieux de préciser pour quelle variable on cherche un équivalent : une écriture du style ne veut pas dire grand chose.
  • Reste à signaler que les probabilités génèrent un refus de beaucoup de candidats : près de des candidats n'abordent pas cet exercice : rappelons que nous posons systématiquement un exercice de probabilité.
Conclusion : Nous souhaitons obtenir dans la résolution des exercices proposés de la rigueur, une rédaction claire et lisible et une justification des résultats en utilisant à bon escient le cours : ainsi, nous encourageons les candidats à rédiger le plus proprement, correctement et rigoureusement possible leurs copies, en détaillant clairement les calculs effectués et les théorèmes utilisés à chaque étape de la résolution, sans forcément chercher à tout traiter de façon superficielle.
Nous rappelons enfin qu'il vaut mieux admettre clairement le résultat d'une question et avancer dans la résolution du reste de l'exercice plutôt que de donner des arguments faux qui indisposent nécessairement le correcteur.
Nous proposons chaque année dans ce rapport une correction du sujet et invitons vivement les candidats à l'étudier attentivement.

- Commentaires par exercices

Nous avons compilé un certain nombres d'erreurs constatées sur les copies qu'il nous semble important de signaler dans ce rapport afin d'espérer ne plus les rencontrer l'an prochain.

- Exercice 1.

Thème de l'exercice : Étude d'une forme linéaire sur puis d'un endomorphisme utilisant sur cet espace.
  • Q1. : La justification de «forme» est quasiment toujours omise.
  • Q2. : Le calcul de , n'est pas toujours abouti : les cas pair et impair ne sont pas traités.
  • Q3. : Beaucoup d'étudiants oublient qu'ils manipulent une forme linéaire ce qui les amène à effectuer des calculs longs et fastidieux qui n'aboutissent pas. On voit souvent, pour ceux qui utilisent le théorème du rang, que .
    Le fait que la forme linéaire est non nulle est quasiment toujours oublié.
  • Q4. : Le théorème de la base incomplète est rarement cité. Il semble qu'il n'y ait dans que des vecteurs de la base canonique !
  • Q5. : Il y a souvent une confusion entre «complémentaire» et «supplémentaire», ce qui amène un candidat à penser qu'il y a une erreur dans l'énoncé puisque le vecteur n'est ni dans , ni dans et donc, on ne peut avoir .
    Pour montrer que et sont orthogonaux, certains étudiants tentent d'effectuer le produit scalaire puisque !
    Enfin pour montrer que les sous-espaces et sont en somme directe, un nombre non négligeable de candidats tente d'établir que
  • Q6.1. : La partie «stabilité » est souvent escamotée ou simplement énoncée sans justification. Il semble y avoir dans l'esprit de certains une confusion entre dimension et degré : .
  • Q6.2. : Il reste souvent un terme résiduel dont l'étudiant ne sait que faire.
  • Q6.3. : La matrice, lorsqu'elle est proposée sans calculs justificatifs est souvent incorrecte : rappelons que tout résultat énoncé dans la copie se doit d'être justifié.
    On trouve aussi parfois des vecteurs dans la matrice.
  • Q6.4. : Bien traitée pour ceux qui ont la bonne matrice.
  • Q6.5. : Traitée par très peu de candidats. L'argument : «la matrice de n'est pas l'identité » est très rarement évoqué.
  • Q7. et Q8. : très rarement abordées.

- Exercice 2.

Thème de l'exercice : Exercice de probabilité à partir d'une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson.
  • Q1.1. : est régulièrement oublié et dans on constate souvent l'oubli d'un ou plusieurs facteurs.
  • Q1.2. : Parmi les fautes les plus courantes : présence d'un , oubli des factorielles, interversion entre sh et ch, domaine égal à
  • Q1.3. : L'indépendance de deux variables aléatoires discrètes semble très mystérieuse pour beaucoup: «lorsqu'elles ne dépendent pas l'une de l'autre».
    Cette question de cours que nous pensions facile n'a pas permis aux étudiants de rapporter des points.
  • Q2.1. : Les réunions sont quasiment toujours absentes. Par exemple, ( pair) se traduit par , avec , sans même un quelconque quantificateur.
  • Q2.2. : Parmi les étudiants qui effectuent correctement les calculs, est rarement rappelé.
  • Q3.1. : Le produit des supports est parfois écrit, sans simplification.
  • Q3.2. : Souvent l'évènement est exprimé à l'aide d'évènements et sans expliciter de lien entre et .
  • Q3.3. : Les cas pairs et impairs ne sont pas toujours distingués.
  • Q3.4. : Confusion entre prend des valeurs paires) et .

- Exercice 3.

Thème de l'exercice : Étude de la convergence simple et absolue d'une série dépendant d'un paramètre.
  • Q1. : Résultats décevants pour cette question : les cas et ne sont pas toujours distingués.
    Une figure permettait de voir efficacement ce qui se passait.
  • Q2.1. et Q2.2. : La continuité voire la continuité par morceaux sert parfois à justifier la dérivabilité.
  • Q2.3. : La majoration est rare : lui est en général préférée la double inégalité , ce qui entraîne de nombreuses erreurs.
    On a souvent rencontré : !
  • Q2.4. : L'appel au théorème des accroissements finis n'est pas souvent fait : il est remplacé par la fausse égalité qui permet d'obtenir l'inégalité demandée.
  • Q3. : Assez bien réussie dans l'ensemble.
  • Q4.1. : La valeur absolue est souvent oubliée.
On lit aussi :
  • les fonctions cos et sont intégrables sur et donc, est intégrable sur ,
    et donc, est intégrable sur .
  • Q4.2. : L'intégration par parties généralisée est souvent faite directement sans justification de convergence.
  • Q5. : Le changement de variable ne peut pas fonctionner !
  • Q6. : La comparaison série/intégrale est souvent évoquée mais, l'écriture fait alors office de justification de la convergence de la série .
  • Q7. : Attention aux majorations : !
  • Q9.1. et 9.2. : Les candidats qui ont abordé cette question pensent bien à utiliser la première question.
    Par contre, souvent, ils ne voient pas de problème de convergence malgré l'apparition de la série harmonique.

- Exercice 4.

Thème de l'exercice : Produit scalaire dans et projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
  • Q1. : Question assez mal réussie.
Malgré l'énoncé qui parlait de convergence absolue, certains candidats oublient les valeurs absolues.
D'autres pensent qu'il s'agit d'un produit de Cauchy !
On a noté que beaucoup de candidats ont des difficultés à calculer la valeur prise par un polynôme en un point : si , le calcul de pose beaucoup de problèmes.
  • Q2.1. : Rappelons que ré-écrire l'énoncé ne rapporte pas de point.
L'argument du polynôme qui possède une infinité de racines est rarement évoqué.
  • Q2.2. : Le caractère positif est très souvent omis par des candidats qui pensent que cela a été démontré dans la question précédente.
    D'autre tentent en vain de prouver que : .
  • Q3.1. : Si la somme de la série géométrique est en général sue il n'en est pas de même de l'ensemble de définition de .
  • Q3.2. : On a remarqué dans cette question des confusions entre les variables : et comme la série converge il en est de même de la série pour tout !
  • Q3.4. : On retrouve les erreurs classiques sur les puissance : et donc !
  • Q3.4. -> Q4.3. : Ces questions sont très rarement abordées.
Signalons cependant que les étudiants qui s'y sont frottés ont en général bien réussi même s'ils ne reconnaissent pas toujours l'utilisation de la projection orthogonale pour calculer la distance demandée.

FIN

Luc VALETTE

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