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E3A Mathématiques PC 2023

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
E3A
Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2023PC MathsMaths 2023
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soient un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de , tel que :
où 0 désigne l'endomorphisme nul .
  1. L'endomorphisme est il diagonalisable?
  2. Déterminer les valeurs propres possibles et de l'endomorphisme . On choisira inférieure à .
  3. On pose alors et .
    3.1. Déterminer l'endomorphisme et en déduire que .
    3.2. Préciser et .
    3.3. Prouver que et que .
    3.4. Démontrer que .
  4. Comment peut-on déterminer une base de dans laquelle la matrice de est diagonale ?
  5. Application
Dans cette question, est de dimension trois. On munit de la base et, dans cette base, on définit l'endomorphisme par sa matrice .
5.1. Vérifier que satisfait à la relation ( ). On fera apparaître les calculs sur la copie.
5.2. Déterminer les matrices et des endomorphismes et définis à la question 3 .
5.3. Déterminer une base de et une base de .
5.4. Déterminer une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soit un réel non nul.
Donner un développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction .
En déduire un équivalent de lorsque tend vers 0 .
2. Soient et deux réels avec . Choisir sans justification l'expression correcte de :
(A)
(B)
(C) .

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .

  1. Pour tout , on pose et pour .
    3.1. Montrer que la série de terme général est convergente et calculer sa somme.
    3.2. Montrer que la série de terme général est convergente.
On notera sa somme que l'on ne cherchera pas à calculer.

4. Étude d'une variable aléatoire

4.1. Démontrer que .
4.2. Dans l'espace probabilisé ( ), on considère la variable aléatoire à valeurs dans telle que, pour tout , où est un réel. Déterminer .
4.3. Montrer que admet une espérance et que .
5. Pour tout réel, on pose et pour tout .
5.1. Pour tout entier naturel , montrer que l'intégrale est convergente.
5.2. Calculer pour tout entier naturel .
5.3. En déduire que : .

6. Un encadrement

6.1. Prouver que, pour tout entier naturel non nul .
6.2. En déduire que : .
7. Soit la fonction définie sur par: .
Montrer que pour tout entier :
  1. Soit un réel strictement positif, montrer que l'on a :
  1. Démontrer que : .
  2. Donner un équivalent simple de lorsque tend vers l'infini.

EXERCICE 3

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
On désigne par un espace vectoriel euclidien de dimension .
Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté et représente la norme du vecteur . Pour tout vecteur non nul de , on note l'application de dans lui-même définie par :

1. Étude de l'application

1.1. Montrer que est un endomorphisme de .
1.2. En calculant , montrer que est un automorphisme de et déterminer .
1.3. Soit appartenant à , calculer .
1.4. En déduire que conserve le produit scalaire, c'est-à-dire que :
1.5. On note la droite vectorielle de base et .
Déterminer l'image de par .
En déduire sans calcul que est stable par .
1.6. Reconnaître alors la nature géométrique de l'endomorphisme et en donner les éléments caractéristiques.
2. Étude d'un exemple dans le cas
Soit le sous-espace vectoriel de muni de sa structure euclidienne canonique et constitué des vecteurs tels que .
2.1. Donner la dimension et une base orthonormale de .
2.2. Écrire la matrice dans la base canonique de de la projection orthogonale sur puis celle de la projection orthogonale sur .
2.3. Soit un vecteur unitaire de .
Écrire la matrice de dans la base canonique de .

3. Étude d'une réciproque

Soit un endomorphisme de tel qu'il existe une droite vectorielle de vérifiant :
3.1. Montrer que et que conserve le produit scalaire.
3.2. Montrer qu'il existe au moins un vecteur de tel que .

EXERCICE 4

Pour tout entier naturel et tout réel , on pose :
  1. Étudier la parité des fonctions .
  2. Prouver que les fonctions sont de classe sur .
  3. Démontrer que, pour tout réel et tout entier naturel .
  4. Prouver par récurrence sur l'entier naturel , que la fonction est, pour tout entier naturel , de classe sur .
Soit un entier naturel fixé.

5. Calcul de

5.1. Déterminer, pour tout entier naturel , une relation entre et .
5.2. En déduire l'expression de à l'aide de factorielles.
6. Calculer la somme : .
Le résultat sera exprimé à l'aide de factorielles.
7. Donner le développement en série entière au voisinage de 0 et son domaine de validité de la fonction .
8. Montrer que la fonction est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer le domaine de validité de ce développement.
Chaque coefficient sera donné sous forme d'une intégrale et on citera avec précision les théorèmes utilisés.
9. Quel résultat démontré antérieurement retrouve-t-on alors pour la fonction ?

FIN

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