Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Justifier que la série converge.

2.1. Démontrer que l'on a :

. On pourra utiliser un théorème d'intégration terme à terme.
2.2. En déduire la valeur de :

.
3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

. Calculer

.
4.
4.1. Calculer l'intégrale :

.
4.2. En calculant de deux façons différentes

, déterminer la valeur de la somme

, après en avoir justifié l'existence.

Exercice 2

Question de cours
Soit

une fonction continue sur

et intégrable sur

Soient et la fonction qui à tout de associe .

Justifier que

est de classe

sur

et déterminer l'expression de

pour tout

.
2. Justifier que la fonction

qui à tout

associe

est de classe

sur

et déterminer l'expression de

pour tout

Pour tout entier naturel

supérieur ou égal à 2 , on note

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à

.
Pour tout

, on note

la fonction réelle de la variable réelle

la base canonique de

.
On note

l'endomorphisme dérivation de

et Id l'endomorphisme identité de

.
3. Soit

. Montrer que la fonction

est intégrable sur

.
4. Soit

. Montrer que l'on définit sur

une application linéaire

en posant

avec :

Soit tel que .

Montrer que

est solution sur

de l'équation différentielle :

.
6. En déduire

.
7.
7.1. Calculer

.
7.2. Montrer que pour tout entier naturel

.
7.3. En déduire que

est un endomorphisme de

.
8. Prouver que

est un automorphisme de

.
9. Recherche des sous-espaces propres de

Soient

une valeur propre de

un vecteur propre associé.
9.1. Justifier que

.
9.2. Montrer que

est solution sur

de l'équation différentielle :

.
9.3. Résoudre dans

l'équation différentielle ().
9.4. Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle ().
9.5. En déduire les valeurs propres de l'endomorphisme

et déterminer les vecteurs propres associés.
L'endomorphisme

est-il diagonalisable?
10. Comparer

.
11. Déterminer la matrice

dans la base

.
12. Déterminer les valeurs propres de

. Retrouver alors les valeurs propres de

Exercice 3

On note la racine positive du trinôme . Justifier que et que la deuxième racine est .
Soient et définies par et les relations de récurrence: .
2.1. Montrer que pour tout entier strictement positif : .
2.2 Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de valable pour tout entier naturel . Laquelle?
(1) ;
(2) ;
(3) .
2.3. Exprimer, pour tout en fonction de .
2.4. Démontrer que pour .
On pose, pour tout .

Déterminer une unique matrice

telle que :

.
4. Justifier que la matrice

est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
5. Montrer que l'on a:

.
6. Pour tout

, on pose :

Montrer que la suite

converge et déterminer sa limite

à l'aide de

et des matrices

.
7. Démontrer que la matrice

est semblable à la matrice

Exercice 4

Soient

. On note (

) la base canonique de

. Soit

une famille de réels distincts deux à deux.
Pour tout couple

d'éléments de