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E3A Mathématiques MPI 2025
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Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesPolynômes et fractionsSéries entières (et Fourier)
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI
MATHEMATIQUES
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
EXERCICE 1
Soit
- Étudier l'existence d'extrema locaux de
. - La fonction
est-elle majorée ? - Démontrer que
admet une borne inférieure que l'on déterminera.
Soit
On note
4. Déterminer le seul extremum possible de la restriction de
5. Montrer que :
6. En déduire que
On note
4. Déterminer le seul extremum possible de la restriction de
5. Montrer que :
6. En déduire que
EXERCICE 2
Soit
-
, -
et les deux polynômes : et .
Questions préliminaires
- Énoncer le théorème de la division euclidienne pour les polynômes.
- Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de
par .
On pourra poser la division euclidienne de
3. Déterminer le PGCD des polynômes
4. Décomposer les deux polynômes
3. Déterminer le PGCD des polynômes
4. Décomposer les deux polynômes
Les
On considère l'application
5. Prouver que
6. Soit
7. De la même façon, déterminer
8. En déduire la matrice
9. Calculer la trace de
5. Prouver que
6. Soit
7. De la même façon, déterminer
8. En déduire la matrice
9. Calculer la trace de
Étude du noyau et de l'image de
- Justifier que le rang de
est égal à . - Déterminer une base de
. - Déterminer une base de
. - Justifier que
. - Montrer que
et sont supplémentaires dans .
Éléments propres de
Soit
15. Vérifier que
16. Montrer que les racines de
17. En déduire qu'il existe un scalaire
18. Montrer que l'on a :
19. En déduire l'expression de
20. L'endomorphisme
21. Retrouver la valeur de la trace de l'endomorphisme
22. Déterminer le polynôme caractéristique
23. En déduire le déterminant de l'endomorphisme induit par
15. Vérifier que
16. Montrer que les racines de
17. En déduire qu'il existe un scalaire
18. Montrer que l'on a :
19. En déduire l'expression de
20. L'endomorphisme
21. Retrouver la valeur de la trace de l'endomorphisme
22. Déterminer le polynôme caractéristique
23. En déduire le déterminant de l'endomorphisme induit par
EXERCICE 3
Questions préliminaires
- Déterminer le développement en série entière de
et donner son domaine de validité. - Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière
. - Soit
et deux séries entières définies sur avec .
On note
Soit
(a)
(b)
(c)
(d)
4. Soit
Soit
(a)
(b)
(c)
(d)
4. Soit
Rappeler sans démonstration la valeur de
On rappelle que si
Pour tout
On pose enfin
5. Représenter graphiquement
6. En utilisant le changement de variable
7. Montrer que l'on a:
Pour tout
On pose enfin
5. Représenter graphiquement
6. En utilisant le changement de variable
7. Montrer que l'on a:
On pourra s'aider d'un dessin.
8. Prouver que
9. Pour
10. En déduire un équivalent de
11. Déterminer alors un équivalent de la fonction
12. On définit la série entière
8. Prouver que
9. Pour
10. En déduire un équivalent de
11. Déterminer alors un équivalent de la fonction
12. On définit la série entière
Déterminer le rayon de convergence
13. On pose, pour
13. On pose, pour
Un équivalent de
- Montrer que l'on a:
- En majorant la quantité
, montrer que .