J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

E3A Mathématiques MP 2022

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractionsIntégrales généraliséesRéduction
Logo e3a
🔗 Explorer
Banque
E3A
Année
2022
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2022MP MathsMaths 2022
2025_08_29_5d9bc3b5763b8e3830e9g

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

  1. Pour tout réel , on pose, lorsque cela est possible, .
    1.1. Déterminer l'ensemble de définition de .
    1.2. Démontrer que pour tout réel de .
    1.3. On admet que .
Calculer pour tout entier naturel . On exprimera le résultat à l'aide de factorielles.
2. Pour tout entier naturel , on pose .
2.1. Justifier l'existence de .
2.2. En utilisant la question 1. calculer .
3. Pour tout réel , on pose, lorsque cela est possible, .
3.1. Donner le développement en série entière de la fonction cos au voisinage de 0 et préciser son domaine de validité.
3.2. Justifier que est définie sur et l'exprimer à l'aide de fonctions usuelles. On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont bien vérifiées.
4. On se propose de retrouver le résultat établi à la question 3.2. par une autre méthode.
4.1. Démontrer que est de classe sur .
4.2. Montrer que est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
4.3. Retrouver l'expression de obtenue à la question 3.2.

EXERCICE 2

1. Questions de cours

1.1. Soit une fonction continue sur le segment .
Donner, sans démonstration, la limite quand tend vers l'infini de l'expression :
1.2. Soit . Déterminer en fonction de la valeur de .
1.3. Soit un entier non nul. Donner, sans démonstration, l'espérance d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur .
Soient et deux éléments de . On dispose de urnes contenant chacune boules numérotées de 1 à .
On tire une boule au hasard de chaque urne et on désigne par la variable aléatoire égale au plus grand des numéros obtenus. On suppose que les tirages sont indépendants les uns des autres.
2. Donner l'ensemble des valeurs prises par .
3. Soit . Évaluer et prouver que l'on a : .
4. Démontrer que l'espérance de la variable aléatoire peut s'écrire :
  1. Calculer et en donner un équivalent lorsque tend vers l'infini.
  2. Lorsque , reconnaître la loi de et vérifier la cohérence du résultat obtenu à la question précédente.

EXERCICE 3

Soit un espace euclidien muni d'un produit scalaire ( ) dont la norme est notée .

1. Questions de cours

1.1. Soient et deux vecteurs de . Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : . On pourra utiliser la fonction .
1.2. Démontrer qu'on a l'égalité si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
1.3. On considère muni de sa base canonique et du produit scalaire canonique .
Écrire cette inégalité pour et .
Pour toute la suite de l'exercice, on identifie et

Partie 1

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note .
On considère l'application de vers définie par :
Par exemple, pour , on a .
2. Exprimer alors à l'aide de et de .
3. Montrer que possède un maximum sur que l'on notera .
4. Montrer en utilisant la question 1. que .
5. Déterminer tous les tels que .

Partie 2

On note la base canonique orthonormale pour le produit scalaire de .
Pour tout couple de vecteurs de décomposés dans la base et , on pose :
Par exemple, pour , on a .
6. Pour tout exprimer à l'aide de .
7. Écrire la matrice définie pour tout par .
8. Justifier l'existence d'une base orthonormale constituée de vecteurs propres de la matrice .
9. Vérifier que pour tout couple de vecteurs de , on a .
10. Soit la matrice de dont tous les éléments sont égaux à 1 .
10.1. Déterminer les valeurs propres de la matrice .
10.2. En déduire une matrice diagonale semblable à la matrice .
11. Donner l'expression de en fonction des coordonnées de et dans la base .
12. Retrouver alors le résultat établi à la question 4.

EXERCICE 4

Questions préliminaires

Pour tout entier , on note : où i est un nombre complexe tel que .
  1. Soit . Démontrer que si, et seulement si, .
  2. Soit . Déterminer tel que .
  3. Calculer et .
  4. On considère le polynôme .
    4.1. Montrer que pour tout réel différent de .
    4.2. Montrer que : .
    4.3. En factorisant dans , montrer que : .
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 4 .
On note et les matrices de définies par :
où est le polynôme défini à la question 4 .

5. Réduction de la matrice

5.1. Donner, sans démonstration, la matrice pour puis .
On pourra étudier le cas et/ou l'endomorphisme canoniquement associé à pour conjecturer les résultats.
5.2. On note le sous-espace vectoriel de engendré par la famille . Montrer que est de dimension . En donner une base.
5.3. Démontrer que est le polynôme minimal de .
5.4. Justifier que est diagonalisable dans et donner une matrice diagonale semblable à .

6. Réduction de la matrice

6.1. Expliciter la matrice .
6.2. Déterminer une matrice diagonale semblable à la matrice .
6.3. Déterminer le degré du polynôme minimal de .
En déduire que est une famille libre de .
7. Calculer le déterminant de . Justifier que la matrice est inversible.
8. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par la famille . Vérifier que .
9. Montrer que .
10. Vérifier que l'on a l'égalité : .
11. Déterminer enfin une expression de à l'aide des puissances de la matrice .

FIN

E3A Mathématiques MP 2022 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa