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E3A Mathématiques MP 2020

Cinq exercices indépendants

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctions
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E3A
Année
2020
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2020MP MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai: -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

Exercice 1.

Soient et deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans et telles que :
où et .
  1. Vérifier que l'on définit ainsi des lois de probabilité.
  2. Justifier que la variable aléatoire possède une espérance et la calculer.
  3. Calculer et .
  4. Déterminer la loi de la variable aléatoire .

Exercice 2.

Pour tout réel et tout entier naturel non nul, on pose : , où .
  1. Montrer que pour tout réel, la suite est croissante.
  2. Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels la suite est convergente.
On pourra utiliser la suite .
3. Soit . On note la limite de la suite .
3.1. Étudier la parité et la monotonie de la fonction sur .
3.2. Démontrer que la fonction est continue sur .
4.
4.1. Prouver que la fonction est intégrable sur et calculer . On pourra utiliser un changement de variables.
4.2. En déduire l'intégrabilité de la fonction .

Exercice 3.

Questions de cours

  1. On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes dont on note et les racines.
    Donner sans démonstration les expressions de et de à l'aide des coefficients et .
  2. Soient et deux réels et une suite réelle définie par et la relation de récurrence :
On note et les racines dans de l'équation caractéristique associée à cette suite.
Soit . Exprimer en fonction de et .
On sera amené à distinguer trois cas et il n'est pas demandé d'exprimer les constantes qui apparaissent en fonction de et de .
On note l'ensemble des suites réelles indexées par telles que les sous-suites et convergent.
On admettra que l'ensemble des suites réelles indexées par est un -espace vectoriel.
L'endomorphisme identité de l'espace sera noté id .
On définit les applications et de dans par:
et
  1. Donner un exemple de suite non constante, élément de .
  2. Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel .
  3. Prouver que si une suite est dans , elle est bornée.
  4. Montrer que est un endomorphisme de . On admettra qu'il en est de même pour .
  5. Soient et . Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
  6. Étude de l'endomorphisme Prouver que est une symétrie de dont on précisera les éléments caractéristiques.
  7. Étude de l'endomorphisme
On rappelle qu'une suite est dans lorsque les deux sous-suites et sont convergentes.
7.1. Soit un réel. Montrer que si où désigne le vecteur nul de .
On pourra utiliser les questions de cours.
7.2. L'endomorphisme est-il injectif?
7.3. Déterminer et .
7.4. Déterminer alors l'ensemble de toutes les valeurs propres de l'endomorphisme .
8. On munit de la norme infinie : si .
Soit l'application qui à tout élément de , associe .
8.1. Vérifier que pour tout de existe.
8.2. Démontrer que l'on définit ainsi une norme sur l'espace .
8.3. Montrer que est une isométrie de l'espace vectoriel normé ( ). Est-elle continue?
8.4. Prouver que dans cet espace normé, les sous-espaces vectoriels et sont des fermés.
8.5. Les deux normes et sont-elles équivalentes?

Exercice 4.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on note et on pose, pour tout couple ,
  1. Démontrer que l'on définit ainsi sur un produit scalaire.
Dans la suite de cet exercice, est l'espace euclidien muni de ce produit scalaire.
2. Soit un sous-espace vectoriel de de dimension . Donner sans démonstration la dimension de .
3. On prend dans cette question .
Déterminer une base du sous-espace .
4. On revient au cas général : et soit non nul.
4.1. Déterminer le degré de .
4.2. On pose, lorsque cela est possible, pour réel : .
4.2.1. Montrer que est une fonction rationnelle.
4.2.2. Déterminer les zéros et les pôles de . Donner pour chacun son ordre de multiplicité. On pourra examiner les degrés du dénominateur et du numérateur de la fonction rationnelle .
4.2.3. En déduire une expression de , à une constante multiplicative près, faisant apparaître le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée.
4.3. En utilisant une décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle , donner une base de .

Exercice 5.

Soit une suite réelle convergente de limite .
Pour tout , on définit sur la fonction en escalier par:
  1. Déterminer .
  2. Prouver que l'on a pour tout où désigne la partie entière du réel .
  3. En déduire pour tout , la valeur de .
  4. Prouver alors que l'on a : .
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