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E3A Mathématiques B PSI 2013

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GéométrieSéries et familles sommablesIntégrales généraliséesTopologie/EVNNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
E3A
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2013PSI MathsMaths 2013
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Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
À feuille de papier millimétré.

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

LES CANDIDATS VEILLERONT À JUSTIFIER LEURS DÉMONSTRATIONS EXCLUSIVEMENT À L'AIDE DES OUTILS DU PROGRAMME DE LA FILIERE.

Exercice 1

Le plan usuel est muni d'un repère orthonormé .
Soit la courbe paramétrée, pour , par:
On appelle podaire de par rapport à un point du plan, l'ensemble des projetés orthogonaux de sur les tangentes à .
  1. Donner une équation cartésienne de .
  2. Reconnaître et en donner les éléments caractéristiques.
  3. Soit un point de de paramètre .
Déterminer une équation de la tangente à en .
4. Soit le point de coordonnées .
Vérifier que la podaire de par rapport à est une droite que l'on reconnaitra.
5. On cherche dans cette question à déterminer la podaire de par rapport à .
5.1 Déterminer des équations paramétriques de .
5.2 Représenter graphiquement, sur la feuille de papier millimétré prévue à cet effet, les courbes et dans un même repère. (On étudiera soigneusement les éventuels points stationnaires et branches infinies de la courbe ).

Exercice 2

Dans tout l'exercice, I désigne l'intervalle ]0, [.

Partie A

  1. Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels la série converge.
On définit alors la fonction de dans en posant .
2. Déterminer le sens de variation de .
3. Prouver que est de classe sur .
4. Calculer .
5. 5.1 Vérifier que :
5.2 En déduire un équivalent de au voisinage de 0 .
6. Donner l'allure de la courbe représentative de .

Partie B

  1. Justifier pour tout , l'existence de l'intégrale .
  2. On définit alors la fonction de dans en posant .
Montrer que est continue sur .
3. Le but de cette question est de prouver .
3.1 Soit et .
3.1a Justifier l'existence de l'intégrale: .
3.1b Vérifier que l'on a : .
3.2 Conclure.

Exercice 3

Soit un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté (.|.) et la norme associée notée .
On suppose qu'il existe et une famille tels que la propriété ( ) suivante soit vérifiée :
(P)
On désigne par le sous-espace vectoriel engendré par la famille .
On note la matrice identité de .
Soit la matrice symétrique .
  1. 1.1 Soit . Calculer .
    1.2 En déduire que est de dimension finie.
  2. Dans cette question, et uniquement celle-ci, on suppose:
Montrer qu'alors est une base orthonormale de .
3. Dans cette question, et uniquement celle-ci, on suppose que est une famille libre de .
3.1 Montrer que est une base de .
3.2 Énoncer une identité de polarisation liant produit scalaire et norme associée.
3.3 En utilisant la propriété , démontrer:
3.4 En déduire que l'on a .
3.5 Soit a l'endormorphisme de dont est la matrice dans la base . Déterminer le noyau de .
3.6 En déduire que est une base orthonormale de .

Exercice 4

Soit .
Dans tout l'exercice on identifie un vecteur de et sa matrice colonne associée d'une part et un endomorphisme de avec sa matrice canoniquement associée, d'autre part.
désigne la matrice identité d'ordre .
Soit || || une norme sur .
On considère la norme subordonnée à , c'est-à-dire telle que, pour toute matrice , on a :
On rappelle que l'on a:
  1. Démontrer que l'on a : .
  2. Prouver qu'il existe tel que l'on a : .
  3. Vérifier l'égalité
On rappelle que la norme est définie sur , pour toute matrice de par :
  1. Justifier, sans les calculer, l'existence de deux réels strictement positifs et tels que l'on a:
Soit un sous-groupe du groupe multiplicatif qui possède la propriété suivante :
ce que l'on peut traduire par: est inclus dans la boule fermée de centre et de rayon 1 pour la norme .
5. Montrer que l'ensemble est borné pour la norme .
6. Soient et .
6.1 Justifier que .
6.2 Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé.
Justifier que est non nul et déterminer .
6.3 Montrer que l'on a: .
En déduire les inégalités : puis
6.4 Démontrer que .
(On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde et distinguer les cas et ).
On pose dans la suite de cette question où .
6.5 Montrer que, pour tout , on a , puis .
6.6 Montrer alors successivement que l'on a puis .
6.7 En déduire :
7. Dans toute cette question, on étudie le cas .
Soit une matrice non diagonalisable de .
7.1 Montrer que est semblable à une matrice du type , où est un complexe non nul.
7.2 Soit . Calculer puis .
7.3 Démonter , puis .
7.4 En déduire que toute matrice de est diagonalisable.
7.5 Décrire alors l'ensemble .
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