Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons desinitiatives qu'il est amené à prendre.

Soit l'ensemble des polynômes à coefficients complexes. Dans tout cet exercice, on identifie les éléments de et leurs fonctions polynomiales associées. Soit un polynôme non nul vérifiant la relation

(1) Montrer que, si est une racine de alors et sont aussi des racines de .
(2) Soit . On définit la suite de nombres complexes en posant, pour tout .
(a) Vérifier que, lorsque est une racine de , pour tout entier naturel , le nombre complexe est une racine de .
(b) Montrer que, lorsque est un réel strictement positif, la suite est une suite strictement croissante de réels strictement positifs.
(c) En déduire que n'admet pas de racine réelle strictement positive.
(d) Montrer que -1 n'est pas racine de .
(e) Montrer que, pour tout , on a .
(3) Déduire des questions précédentes que, si est une racine complexe de , alors . On admettra que l'on a aussi .
(4) Montrer que si le degré de est strictement supérieur à 0 alors a pour unique racine 0.
(5) Déterminer alors tous les polynômes qui vérifient la relation (*).

Soit la fonction définie sur par .
Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( ), soit la courbe paramétrée définie comme l'ensemble des points du plan, , de coordonnées :

(1) Montrer que est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et que le point de coordonnées est élément de .
(2) Déterminer les points doubles, points stationnaires et asymptotes éventuels de la courbe .
(3) Donner l'allure de la courbe dans un repère orthonormal.

On pourra utiliser les approximations et .

(1) Soient et trois réels.
(a) Justifier, sans calculer explicitement les déterminants, la relation suivante :

(b) En déduire alors :

(2) On définit pour et deux réels tels que le réel

Lorsque et avec , on note le point de la courbe de paramètre , c'est-à-dire .
(a) On suppose que et sont deux points de , distincts, différents de et non symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Montrer que la droite ( ) recoupe en l'unique point Vérifier que est différent de .
(b) On suppose que est différent de . Montrer que la tangente à , en recoupe en l'unique point . Vérifier que est différent de et de .
(3) On pose à présent , ainsi que et où et sont respectivement les symétriques de et par rapport à l'axe des abscisses. Montrer que la droite ( ) est la tangente à la courbe au point . Illustrer graphiquement.

La partie est indépendante des parties et à l'exception des questions 4 et 5 .
On considère les suites de fonctions et définies sur par :

(1) Montrer que les séries de fonctions de terme général et convergent simplement sur .
(2) Soit un réel strictement positif.
(a) Montrer qu'il existe , tel que, pour tout ,

(b) Montrer que les séries de fonctions de terme général et convergent uniformément sur .

On admettra qu'il en est de même pour les séries de fonctions de terme général et .
(3) On pose
(a) Démontrer que est de classe sur . Ecrire l'énoncé précis du théorème utilisé.
(b) Démontrer que est paire.
(c) Démontrer que est -périodique.

(1) Montrer que , pour tout entier naturel ,

En déduire les coefficients de Fourier réels de la fonction .
(2) Démontrer que, pour tout réel , on a :

où l'on précisera l'expression des réels .
(3) (a) Montrer que, pour tout réel , l'intégrale est convergente.
(b) Montrer que .

On pourra utiliser les changements de variables et .

Soit la fonction définie sur .
(1) Montrer que est continue et bornée sur et calculer .
(2) (a) Montrer que pour tout réel strictement positif, on a :

(b) En déduire que la fonction est dérivable sur et que l'on a

(c) Montrer alors que

(3) Soit la fonction définie sur .
(a) Montrer que est dérivable sur et, à l'aide d'une intégration par parties, que l'on a

(b) En déduire que est deux fois dérivable sur et vérifie l'équation différentielle :

(4) Déterminer alors pour tout .
(5) En déduire que, pour tout réel , on a :