Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

R désigne l'ensemble des nombres réels et est un intervalle de non vide et non réduit à un point.
Enoncer le Théorème de Rolle.
Soit une application de vers , dérivable sur , et un entier naturel, . On suppose que s'annule fois sur , démontrer que s'annule au moins fois sur .
On considère les applications et de vers définies par :
et .
On suppose que s'annule au plus 3 fois dans . Montrer que s'annule au plus 4 fois dans .
Soit un entier naturel, , ( ) un élément de avec , un élément de et l'application de vers définie par :

Démontrer que s'annule au plus fois dans .
On considère le polynôme de suivant : .
Prouver que admet au plus 6 racines réelles.

désigne l'ensemble des nombres réels et est un entier naturel, .
On introduit les notations suivantes :
est l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, est l'ensemble des matrices à lignes, une colonne et à coefficients réels, est l'ensemble des matrices inversibles de , est l'ensemble des matrices orthogonales de ,
est l'ensemble des matrices symétriques de est l'ensemble des matrices de dont toute valeur propre est positive ou nulle, est l'ensemble des matrices de dont toute valeur propre est strictement positive.
Pour toute matrice on note : la transposée de le coefficient de situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne le déterminant de lorsque est une matrice carrée.
Partie A
Soit une matrice de . Le but de cette partie est d'établir l'inégalité (1) :

Soit une matrice de . On rappelle qu'il existe une matrice de et un élément de tels que : où est la matrice diagonale de telle que .
Soit une matrice de .
Déduire du rappel précédent :
a) qu'il existe élément de tel que : .
b) que pour tout élément de : .
c) que: .
Soit une matrice de démontrer :
a) qu'il existe élément de tel que : .
b) que pour tout élément non nul de .
c) que: .
Soit une matrice de n'appartenant pas à . Etablir l'inégalité (1) pour .
Soit une matrice de telle que : .
a) Prouver que la fonction exponentielle est convexe sur .

En déduire que : .
b) Démontrer que l'inégalité (1) est vérifiée par .
Soit une matrice quelconque de . Soit la matrice diagonale de telle que: et la matrice de définie par .
a) Montrer que pour tout élément non nul de .
b) En déduire que appartient à .
c) Démontrer que l'inégalité (1) est vérifiée par .

Dans cette partie on utilise l'inégalité (1) de la Partie A pour établir l'inégalité d'Hadamard.
Soit une matrice de .
Vérifier que l'on peut appliquer l'inégalité (1) à .
En déduire l'inégalité d'Hadamard .

Dans cette partie on utilise l'inégalité d'Hadamard pour établir un résultat concernant les fonctions développables en série entière en 0 .
Soit une suite réelle telle que . Soit l'unique suite réelle vérifiant:

Pour , on considère la matrice de suivante :
. Calculer .
Vérifier que appartient à . Appliquer les formules de Cramer pour en déduire que où est une matrice de à préciser .
On suppose qu'il existe un réel strictement positif tel que la série de terme général converge. On pose: . Montrer que la série de terme général converge et que .
Utiliser alors l'expression de établie à la question de la Partie C et l'inégalité
d'Hadamard pour démontrer que: où est un réel positif indépendant de à préciser ( on pourra considérer la matrice de obtenue à partir de en multipliant la i-ème ligne de par , pour tout élément de ).
Soit une fonction de vers développable en série entière en 0 telle que . Montrer que la fonction définie au voisinage de 0 est développable en série entière en 0 .

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction numérique de la variable réelle telle que :

Question préliminaire
Soit une application de vers telle que . Soit un entier naturel non nul, pourquoi l'égalité est-elle vérifiée?
Montrer que l'ensemble de définition de est .
Prouver que est de classe sur .
Montrer que est solution sur de l'équation différentielle : .
Etude de quand tend vers .
Dans cette question, est un réel vérifiant : .
a) On pose .

Montrer que est définie et bornée sur .
b) On pose .

Prouver que pour élément de on a : . En déduire que est équivalent à quand tend vers .
c) Montrer que .
d) Déterminer un équivalent de quand tend vers .
Etablir que : et que ( indication : on pourra considérer une suite quelconque d'éléments de qui tend vers et utiliser le théorème de la convergence dominée).
Soit une solution non nulle de (E) sur vérifiant . On rappelle que le wronskien de et est l'application notée de sur définie par: .
a) Vérifier que est solution sur de l'équation différentielle : et pour , calculer .
b) En déduire qu'il existe un réel tel que pour tout de .