Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

est l'ensemble des nombres complexes, celui des nombres réels et est un entier naturel, . Soient des éléments de non tous nuls et le polynôme de défini par : .

Dans tout cet exercice désigne une racine dans C de .
Le but de l'exercice est d'établir par deux méthodes différentes une majoration de en fonction des coefficients de . Les deux parties qui suivent sont indépendantes.

Partie A Utilisation de méthodes algébriques.
On note E le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans est la matrice identité de E .

On note F le -espace vectoriel des matrices à lignes et une colonne et à coefficients dans C. Pour élément de F , on note l'élément de la i-ème ligne de .

Pour élément de est le coefficient de situé dans la -ème ligne et la -ème colonne de .
Soit une matrice de E. On suppose que n'est pas inversible.
a) Montrer qu'il existe élément de F tel que : et .
b) En déduire qu'il existe élément de tel que .
Soit la matrice de E définie par : .
Par exemple pour .
Démontrer que, si est un élément quelconque de .
Déduire des 2 questions précédentes que .

Partie B Utilisation de méthodes analytiques.
Soit le polynôme de défini par : .
Soit l'application de vers telle que : .
a) Montrer que est strictement croissante sur .
b) Prouver que admet une seule racine dans ; cette racine sera notée .
Soit élément de tel que . Etudier le signe de .
En déduire que .
En appliquant le résultat de la question précédente pour une valeur de judicieusement choisie, retrouver l'inégalité établie à la question Partie A et prouver qu'elle est stricte.

est l'ensemble des nombres réels, est l'ensemble des entiers relatifs et un entier naturel. Soit une application continue de vers . On note ( ) l'équation différentielle suivante :

Dans cet exercice on appelle solution de toute application de vers de classe vérifiant sur .

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de solutions périodiques de ( ).
On rappelle qu'une application de vers est périodique si et seulement s'il existe élément de tel que: . On dit alors que est -périodique ou que est une période de .

Partie A Dans cette partie on établit quelques propriétés des applications périodiques.
Soit une application -périodique de vers .
Montrer que si est continue sur alors est bornée sur .
Montrer que si est dérivable sur alors est -périodique.
On considère l'ensemble suivant: .
Montrer que est un sous groupe de ( ).
Partie B Etude des sous-groupes de ( ).
Soit un sous groupe de non réduit à .
Montrer que n'est pas vide.
On pose .
a) On considère le cas où .
i) Montrer qu'alors appartient à (on pourra faire un raisonnement par l'absurde, en montrant que si que n'appartient pas à il existe des éléments et de tels que et en déduire une contradiction).
ii) Etablir l'égalité .
b) On considère le cas où . Prouver que est dense dans .

Partie C Etude du nombre de solutions périodiques de ( ) dans trois cas simples.
Montrer que si ( ) admet une solution -périodique alors est - périodique.
Que peut-on conclure dans le cas où n'est pas périodique?
Résoudre l'équation différentielle ( ) suivante : .
Prouver que la fonction nulle est la seule solution périodique de ( ).
Résoudre l'équation différentielle ( ) suivante : .
Prouver que ( ) admet une seule solution périodique que l'on déterminera.
Dans cette partie on suppose que est continue et de plus périodique.
On veut établir qu'alors ( ) admet une seule solution périodique.
Dans cette question on prouve que ( ) admet au moins une solution périodique.
a) Soit une période de et une solution de . On considère l'application de vers définie par: .
i) Prouver que est solution de .
ii) Montrer que est -périodique si et seulement si et .
b) Démontrer que ( ) admet une solution périodique.
Dans cette question on prouve que ( ) admet une seule solution périodique.
a) Cas où est dense dans .
i) Montrer que est constante (on pourra établir que : ).
ii) Conclure.
b) Cas où avec apportenant à .

Soient et des solutions périodiques de une période de une période de .
i) Prouver que et sont des éléments de .
ii) Montrer que et possèdent une période commune.
iii) En déduire que (on utilisera la question de la Partie C ).

Partie E Détermination de la solution périodique de dans un cas particulier.
Les questions et qui suivent sont indépendantes du reste de l'exercice.
Dans cette partie est l'application de vers , - périodique, telle que :

Calculer les coefficients de Fourier réels de . Etudier la convergence de la série de Fourier de (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme).
Pour , on considère l'application de vers définie par :

Montrer que la série de fonctions converge simplement sur . Soit l'application de vers définie par : . Montrer que est de classe sur .
Prouver que est l'unique solution périodique de .
Pour calculer . Vérifier que : .