Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

R est l'ensemble des nombres réels et un entier naturel.

Partie A Dans cette partie, on établit quelques résultats préliminaires qui pourront être utilisés dans les deux parties suivantes.
Pour , on pose : . Etudier la nature de la série .
En déduire que la suite converge. On note sa limite.
Pour élément de , on considère l'application de vers définie par :

a) Déterminer le tableau de variation de .
b) Justifier les inégalités : et .
c) Prouver que la série est convergente mais qu'elle n'est pas absolument convergente.

Les deux parties qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre.

Pour , on pose : et .
Utiliser les inégalités établies à la question b) de la Partie A pour démontrer que :
a) la suite est décroissante
b) la suite converge.
Montrer que : . En déduire une expression de où figurent et .
Calculer (on exprimera cette limite en fonction de et de ). Déterminer .

On note l'application de vers définie par :
Pour , on considère l'application de vers définie par : .
Dans cette partie on étudie d'abord le comportement de lorsque tend vers 1 par valeurs supérieures, ensuite la série de fonctions , puis on retrouve la valeur de .
Pour , on considère les applications et de vers définies par :

a) i) Calculer .
ii) Montrer que la série de fonctions est normalement convergente sur .
b) i) Prouver que pour est continue sur .
ii) Montrer que: .
iii) On considère la fonction définie par : .

Démontrer que est définie et continue sur .
c) i) Montrer que: .
ii) Calculer ( on exprimera le résultat en fonction de ).
a) Montrer que la série de fonctions converge simplement sur .
b) Soit un élément de . Démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur .
c) On considère la fonction définie par : . Montrer que est définie et de classe sur . Exprimer sous forme de somme d'une série.
a) Etablir que: .
b) Déterminer un développement limité de à l'ordre 2 au voisinage de 1 , puis un développement limité de à l'ordre 1 au voisinage de 1 .
c) En déduire la valeur de .

est l'ensemble des nombres réels et un entier naturel, . sont des éléments de deux à deux distincts. est l'ensemble des polynômes à coefficients réels. est l'ensemble des éléments de de degré au plus égal à .
Pour tout appartenant à , on considère le polynôme défini par :

Pour et éléments de , calculer .
Montrer que est un système libre de . Que peut-on en déduire?
a) Soit un élément de . Démontrer que : .
b) Pour élément de , on pose: . Calculer .

Les questions et qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre.
Dans cette question est un élément de . On pose : .
a) Démontrer que admet au moins racines réelles distinctes.
b) On pose : et .
i) Déduire de la question a) que : .
ii) Calculer . Exprimer le résultat en fonction de , de et de .
Dans cette question est un polynôme unitaire de de degré égal à .
On suppose de plus que sont des entiers relatifs vérifiant : .
Pour élément de , on note : .
a) Prouver que : !.
b) Déduire de la question a) que .
c) On définit par : . Démontrer que : .