E3A Mathématiques B PSI 2003

désigne l'ensemble des nombres réels et est un entier naturel non nul.
Dans tout l'exercice, ( ) est une suite d'éléments non nuls de . On lui associe la suite ( ) définie par : . Lorsque ( ) converge, on note sa limite.
Lorsque ( ) diverge vers (respectivement vers ), on dit que ( ) admet (respectivement vers ) pour limite.

Donner un exemple de suite ( ), telle que ( ) converge vers .
Prouver que, si ( ) converge vers différent de 0 , alors ( ) converge vers 1 .
On suppose dans cette question qu'il existe un entier naturel tel que :

On pose, pour supérieur à .
a) Pour supérieur à , exprimer en fonction de et de .
b) Montrer que, si la série converge, alors la suite ( ) converge et que est non nul.
c) On suppose que la suite des sommes partielles de la série diverge vers ou . Préciser dans chacun de ces deux cas la limite de la suite .

Dans ce qui suit, on définit par : .
On suppose dans cette question que, pour tout , on a : .
Démontrer que la suite converge vers si et seulement si la série converge.
On suppose dans cette question que la série converge.
a) Montrer que, si la série converge, alors la suite ( ) converge et est non nul.
b) Montrer que, si la série diverge, alors la suite ( ) converge et .
Prouver que, si la série est absolument convergente, alors la suite converge et est non nul.

Les quatre questions qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre. On pourra les traiter en utilisant les résultats établis dans la première partie, à condition de s'y référer de manière très précise.
Etudier la convergence et déterminer la limite de ( ) dans les deux cas suivants :
a) .
b) .
On rappelle que .
On pose : . La suite ( ) est-elle convergente ?
Soit ( ) une suite de nombres réels vérifiant : pour . On pose :

a) Pour , exprimer en fonction de et de .
b) On suppose dans cette question que la série converge.
i) Etablir que la convergence de la série implique la convergence de la série .
ii) La convergence de la série implique-t-elle la convergence de la série ? Justifier.
c) Déterminer une suite ( ) telle que la série converge et la série diverge.
Soit un réel strictement positif, et où est un nombre réel tel que pour tout soit non nul.
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour que ( ) converge vers 0
b) On suppose que : .

Etudier la convergence de la série
[ On pourra utiliser la convergence vers un réel noté de la suite où
.

désigne l'ensemble des nombres réels et est un entier naturel, .
On introduit les notations suivantes :
est l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, est l'ensemble des matrices à lignes, une colonne et à coefficients réels.
est l'ensemble des matrices inversibles de ,
est l'ensemble des matrices orthogonales de ,
est l'ensemble des matrices symétriques de est l'ensemble des matrices de dont toute valeur propre est positive ou nulle, est l'ensemble des matrices de dont toute valeur propre est strictement positive,
est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de est l'ensemble des matrices de dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs.
On rappelle que est stable pour la multiplication des matrices et que si une matrice de est inversible, son inverse appartient à .
Pour toute matrice on note la transposée et le déterminant de lorsque est une matrice carrée.
E et F étant deux -espaces vectoriels de dimensions finies de bases et respectivement et une application linéaire de E vers désigne la matrice de dans les bases et .
est muni du produit scalaire usuel noté , donc si et sont des éléments de on a : est la base canonique de .
Soit un élément de et l'endomorphisme de tel que : .
a) Pour tout élément de , on pose : .

Prouver que est une base de .
b) Soit la base orthonormale de déduite de par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt. On rappelle que pour tout élément de , le sous espace vectoriel engendré par ( ) est égal au sous espace vectoriel engendré par ( ).
Etablir que pour tout élément de on a : .
c) Soit Id l'application identique de . Exprimer en fonction de et de .
d) Démontrer qu'il existe appartenant à et appartenant à tels que : .
e) Soit une matrice appartenant à la fois à et à . Prouver que est diagonale et que les coefficients diagonaux de valent 1 ou -1 .
En déduire l'unicité du couple ( ) de vérifiant .
Soit une matrice de .
a) La matrice est-elle diagonalisable ? Justifier. En déduire qu'il existe élément de tel que : .
b) On suppose que appartient à . Montrer qu'il existe élément de tel que : .
c) Soit un élément de et un élément de . Prouver que : . En déduire que appartient à .
Soit une matrice de .
a) Déduire des questions d) et b) l'existence d'une matrice de telle que .
b) Justifier l'unicité de cette matrice .
c) On note le coefficient de situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne de .
i) Déduire de la question a) que : .
ii) Déterminer toutes les matrices de vérifiant .
On considère et des éléments de .
Démontrer que l'égalité est vérifiée si et seulement s'il existe élément de tel que .