Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice 1

On note

, le

-espace vectoriel des applications continues de

à valeurs dans

.
Soit alors la suite de fonctions

définie par :

Pour tout réel

, on note

Donner l'expression du développement en série entière de la fonction exponentielle et préciser son domaine de validité.
Soient un élément de et un réel.
2.1 Démontrer que l'application est solution de l'équation différentielle :

2.2 Calculer

.
2.3 Résoudre l'équation différentielle (

).
2.4 Énoncer un problème de Cauchy, lié à l'équation (

), dont

est l'unique solution.
3. Soit

Résoudre l'équation différentielle :

Démontrer qu'il existe une constante telle que :

Démontrer alors que la série de fonctions converge simplement sur vers une fonction .
Démontrer que est de classe sur , puis sur .
Calculer .
Prouver que est solution d'un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Donner alors une expression de en fonction de .
Dans cette question, on prend . Déterminer précisément .
Soit .
11.1 Prouver qu'il existe des scalaires , que l'on déterminera, tels que :

11.2 Démontrer que:

11.3 En déduire que :

11.4 Retrouver alors l'expression de

obtenue à la question 9 .
12. Soit

définie par :

12.1 Vérifier que

est un endomorphisme de

est-elle injective?
12.3 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de

Exercice 2

Question préliminaire:
Soient

deux réels strictement positifs. Vérifier que :

Soient

deux suites de réels strictement positifs.
On pose :

et pour

et on note pour tout

Calculer et .
Démontrer que:

Prouver que la suite est croissante.
Soit . Montrer que:

On pourra utiliser un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel

.
5. Pour tout

, on note

et on suppose dans cette question que la série

converge.
5.1 Prouver que la suite

converge.
5.2 Que peut-on en déduire pour la suite

?
6. On suppose maintenant que la suite

converge.
6.1 Vérifier que:

.
6.2 Pour tout

, on pose

Etudier la nature de la série :

.
6.3 Prouver alors que la série

converge.
7. Quel résultat a-t-on finalement établi?

Exercice 3

Le plan

est rapporté à un repère orthonormal

.
Soit

la courbe d'équations paramétriques :

Soit la partie de la courbe correspondant à .

Montrer que l'on obtient toute la courbe

à partir de

: préciser clairement toutes les transformations géométriques utilisées.
2. 2.1 Exprimer

en fonction de

.
2.2 Montrer que la courbe

présente deux points singuliers pour

et pour

que l'on déterminera.

On note

le point de paramètre

.
3. Donner l'allure de la courbe au voisinage du point

: on précisera une équation de la tangente en ce point ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4. Montrer que le vecteur

est un vecteur directeur de la tangente

Ecrire une équation de

dans le repère

.
On admet que le point

est un point de rebroussement de première espèce.
5. Soient

les cercles de centre

et de rayons respectifs

.
5.1 Vérifier que la droite

passe par le point

.
5.2 Déterminer

.
5.3 Soit

le point de

de paramètre

Montrer que

est tangente à

au point

.
6. Tracer dans

muni du repère

, les courbes

.
7. Montrer que la courbe

est invariante par la rotation de centre

et d'angle

.
8. Calculer la longueur de