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E3A Mathématiques B PC 2011
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Algèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généralisées
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
EXERCICE 1
On considère ici l'espace vectoriel réel
On notera
Pour
Pour
On s'intéresse ici à certains sous-espaces vectoriels de
- Soit
, dont tous les coefficients valent 1 .
(i) Calculeret déterminer un polynôme réel de degré 2 annulateur de : tel que . Quelles sont les valeurs propres de ?
(ii) Soitavec . Démontrer que est diagonalisable, préciser les valeurs propres de , et donner une matrice diagonale semblable à .
(iii) Démontrer queest un sous-espace vectoriel de et déterminer sa dimension. Vérifier que est stable pour : si , alors .
(iv) Soitavec . Calculer pour tout . Déterminer à quelle condition est inversible, et exprimer alors (en fonction de ). - Soient
et , et:
(i) Démontrer que les quatre matrices
(ii) Déterminer les sous-espaces propres pour
(iii) En déduire une matrice
(ii) Déterminer les sous-espaces propres pour
(iii) En déduire une matrice
- La valeur absolue de tous les coefficients de
vaut ,
-., -
-
et sont toutes les deux diagonales.
-
Pour
3) Soit
(i) Calculer
(ii) Quel est le rang de
(iii) Déterminer un polynome réel
(iv) Justifier que
3) Soit
(i) Calculer
(ii) Quel est le rang de
(iii) Déterminer un polynome réel
(iv) Justifier que
(v) Calculer
(vi) Démontrer que
(vii) Étudier s'il peut exister
EXERCICE 2
- (i) Montrer l'existence de
et de , et établir une relation entre et .
(ii) Pour, on pose : .
Démontrer que
(iii) Démontrer que
(iii) Démontrer que
(iv) Démontrer que
(v) En déduire, pour
2) (i) Soit
(v) En déduire, pour
2) (i) Soit
Justifier que
(ii) Déterminer le développement en série entière sur
(iii) Soit
(iv) Déterminer une équation différentielle du premier ordre dont
3) (i) Soit
(ii) Déterminer le développement en série entière sur
(iii) Soit
(iv) Déterminer une équation différentielle du premier ordre dont
3) (i) Soit
Démontrer que
(ii) Préciser
(iii) Démontrer l'existence d'un polynôme réel
(ii) Préciser
(iii) Démontrer l'existence d'un polynôme réel
(iv) En déduire un équivalent simple de
(v) Au moyen d'une intégration par parties, calculer l'intégrale:
(v) Au moyen d'une intégration par parties, calculer l'intégrale:
EXERCICE 3
- On se place dans le plan euclidien
muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant orthonormale.
(i) Préciser la nature de la conique, et préciser son ou ses foyers, sa ou ses directrices.
Rappeler alors comment on peut définir cette conique grâce à son ou ses foyers, et grâce à sa ou ses directrices.
(ii) Soit
(iii) Soit
2) On se place dans l'espace euclidien
(i) Pour tout
(ii) Soit
(iii) Déterminer une équation dans la base
(iv) Soit
(ii) Soit
(iii) Soit
2) On se place dans l'espace euclidien
(i) Pour tout
(ii) Soit
(iii) Déterminer une équation dans la base
(iv) Soit
Soit
(v) Soit
(v) Soit
Déterminer
3) Toujours dans l'espace euclidien
3) Toujours dans l'espace euclidien
et soit:
(i) Soit
(ii) Soit
(iii) Soit
(iv) Démontrer que les plans tangents à
(i) Soit
(ii) Soit
(iii) Soit
(iv) Démontrer que les plans tangents à