Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit fixé et , l'espace vectoriel réel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à ; il est muni du produit scalaire défini par:

(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire).
Soit défini par:

où l'on note respectivement ou , ainsi que ou les dérivées premières et deuxièmes de .
a) Soit et .
Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels de supplémentaires et orthogonaux. Préciser la dimension de et de .
b) Vérifier que est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel .
c) En considérant la matrice de relativement à la base canonique ( ), déterminer les valeurs propres de . Préciser si est diagonalisable, et la dimension des sous-espaces propres.
d) Soit , et on pose .

Justifier l'existence d'un unique vecteur propre de associé à , tel que soit de degré et admette 1 comme coefficient de .
e) Montrer que pour tous et dans , on a: .

En déduire que pour tout tel que , on a: .
Que peut-on en déduire pour ?
f) Montrer que ( ) est une base de et ( ) est une base de .
) On prend ici , et l'espace euclidien , toujours muni du produit scalaire défini par:

a) Expliciter définis en ), et en déduire une base orthonormale de formée de vecteurs propres pour .
b) Soit . Calculer la distance euclidienne de au sous-espace vectoriel de .
c) Montrer que est un espace vectoriel réel de dimension 3. On pourra utiliser la matrice de et de dans la base ( ).
d) Déterminer tous les endomorphismes de tels que . On les donnera par leur matrice dans la base .

On rappelle les deux formules usuelles de trigonométrie, pour :

) On considère l'espace vectoriel réel usuel muni de son produit scalaire canonique tel que la base canonique soit orthonormale.
a) Soit définie par: .
(i) Représenter la courbe d'équation dans :

et préciser la nature de cette courbe.
(ii) Comparer avec la courbe paramétrée par , c'est-à-dire:

b) Soit avec .

Etudier et représenter la courbe paramétrée par , c'est-à-dire:

Pour cela, on commencera par comparer avec la courbe d'équation dans :

et préciser la nature de cette courbe.
c) Soit avec .

Etudier et représenter la courbe paramétrée par , c'est-à-dire:

Montrer que est la courbe d'équation dans .
) On considère l'espace vectoriel réel usuel orienté, muni de son produit scalaire canonique tel que la base canonique soit orthonormale directe.
a) Soit et . Préciser la nature des deux surfaces et .
b) Soit . Que représente vis-à-vis de et ?
c) Déterminer l'équation dans du plan tangent en tout point régulier de . De même déterminer l'équation dans du plan tangent en tout point régulier de .

En déduire la tangente en tout point régulier de .
d) Déterminer un paramétrage de , en utilisant les coordonnées cylindriques: c'est-àdire que l'on exprimera pour les conditions sur pour que soit sur .

En déduire une représentation paramétrique du cône de sommet , engendré par les droites passant par et un point variable sur .
e) Pour , on pose: . Soit .

Montrer que . Y-a-t-il égalité ?
f) Préciser comment on obtient les trois courbes planes qui sont les projections orthogonales de sur les plans et , en faisant le lien avec les courbes étudiées dans la première question.

) a) Justifier l'existence des intégrales:

b) Justifier l'existence et calculer , pour tout .
c) Soit -périodique et telle que si .

Calculer les coefficients de Fourier de .
En déduire la valeur de , en précisant le résultat du cours utilisé.
d) Soit . Justifier que , et grâce à c) en déduire la valeur de .
e) En utilisant la série de terme général , justifier l'égalité: , en précisant le résultat du cours utilisé. En déduire les valeurs des intégrales et de a).
f) Justifier l'existence des intégrales suivantes: et les calculer grâce aux résultats précédents.
) a) Calculer: , et justifier l'existence de: .
b) Justifier l'égalité: .
c) Calculer: en fonction de , et en déduire la valeur de .
Pour , on pose et .
a) Déterminer un développement limité à l'ordre 2 de quand tend vers 0 . En déduire un équivalent simple de quand tend vers .
b) Déterminer la nature de la série de terme général , et en déduire que la suite converge dans .

On pourra noter que l'on ne cherchera pas à calculer.
c) Déterminer la nature de la série de terme général , ainsi que de terme général .
) a) Pour tout , justifier l'existence de , et montrer que: .
b) Montrer l' égalité des trois réels et , avec