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E3A Mathématiques B PC 2008

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
E3A
Année
2008
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2008PC MathsMaths 2008
2025_08_29_a3c4407b7dbfe16c5053g

CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Premier exercice

Cet exercice a pour but d'étudier les extrémums d'une fonction liée à une matrice symétrique. L'espace vectoriel est muni de son produit scalaire canonique noté , associée est notée || ||.
  1. Étude d'un exemple.
    (a) Vérifier les inégalités et pour tous réels et et préciser, dans chaque cas, les situations d'égalité.
    (b) En déduire que est un minorant de la fonction
sur et montrer que c'est son minimum.
(c) Trouver de même le maximum de sur .
(d) Comparer ce minimum et ce maximum à la plus grande et à la plus petite valeur propre de la matrice
  1. Étude du cas général. Soit une matrice symétrique réelle d'ordre 3 et l'endomorphisme canoniquement associé à . On rappelle qu'il existe une base orthonormée de vecteurs propres pour , chacun des vecteurs étant associé à la valeur propre . On suppose .
    (a) Soit un vecteur non nul de , que l'on écrit
dans la base . Vérifier que
(b) En déduire que est le maximum de la fonction
sur .
(c) Déterminer de même le minimum de sur .
(d) Vérifier que l'on retrouve ainsi les résultats de la question 1.
3. Une application. On considère la matrice
et l'on note son endomorphisme canoniquement associé.
(a) Déterminer les valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre de .
(b) En déduire le maximum et le minimum de la fonction sur et préciser les vecteurs en lesquels ils sont atteints.
(c) Soit la fonction définie sur par
et la partie de constituée des triplets tels que . Soit et . Vérifier que .
(d) En déduire que possède un minimum et un maximum sur , que l'on calculera et préciser les points en lesquels ils sont atteints.

Deuxième exercice

On note . Cet exercice a pour objet l'étude de l'existence et de l'unicité, sous certaines conditions, de solutions à l'équation des ondes
Toutes les fonctions intervenant dans cet exercice sont à valeurs réelles.
  1. Soit une fonction définie et de classe sur et vérifiant (1). On considère alors la fonction définie sur [ [ par:
(a) Montrer que est de classe sur tout segment inclus dans . On précisera avec soin le théorème utilisé. La fonction est-elle de classe sur ?
(b) Montrer que
  1. On se donne deux fonctions et définies et continues sur ainsi que deux fonctions et définies et continues sur . On cherche à résoudre le problème suivant, d'inconnue , fonction de classe sur , vérifiant le système ( ):
Les fonctions et sont appelées données initiales et les fonctions et valeurs aux bords.
(a) On suppose que et sont deux solutions de et l'on pose . Vérifier que satisfait (1).
(b) Montrer que pour tout .
(c) Montrer que et en déduire que ( ) possède au plus une solution.
3. Le but de cette question est de construire quelques solutions de ( ). On considère à cet effet une suite bornée de nombres réels. On définit les fonctions et par
(a) Montrer que est définie et continue sur .
(b) Montrer que est définie sur et possède des dérivées partielles sur . On admettra que est de classe sur .
(c) Montrer que la fonction satisfait

Troisième exercice

Ce problème a pour objet l'étude des solutions maximales d'un système différentiel non linéaire.
  1. Question préliminaire. Soit et deux réels avec et une fonction définie et de classe sur , à valeurs réelles. On suppose que et sont bornées sur .
    (a) Montrer qu'il existe une constante telle que la fonction
soit croissante sur
(b) En déduire que possède une limite finie en .
On donne un réel et un point de . On rappelle qu'une solution du problème de Cauchy
est un triplet ( ) où est un intervalle ouvert contenant et deux fonctions définies et de classe sur vérifiant, pour tout :
et que ce problème possède une unique solution maximale ( ) c'est à dire que pour toute autre solution de , on a et pour tout .
Par la suite, le point ( ) est donné, on prend et ( ) est la solution maximale du problème de Cauchy ( ) correspondant. Que ses extrémités soient finies ou infinies, on notera . Les questions suivantes ont pour but de déterminer l'intervalle . Soit la fonction définie sur par .
2. On suppose dans cette question que est un nombre réel.
(a) Vérifier que la fonction est décroissante sur .
(b) En déduire que les fonctions puis et sont bornées sur .
(c) En déduire que et possèdent des limites finies en , que l'on notera respectivement et .
(d) On considère la solution maximale ( ) du problème de Cauchy
On note et l'on définit les fonctions et sur par
Montrer que ( ) est une solution de ( ). En déduire une contradiction. Que peut-on en conclure?
3. On considère la fonction définie sur par .
(a) Vérifier que est décroissante sur .
(b) En déduire que pour tout puis que lorsque .
4. Montrer que (dans le cas contraire, on pourra utiliser la fonction et en déduire que les fonctions puis et sont bornées sur ).
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