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E3A Mathématiques B PC 2004

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Algèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
E3A
Année
2004
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2004PC MathsMaths 2004
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC durée 3 heures

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1

On désigne par un entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficients réels. Si et désigne la dérivée -ième du polynôme .
Soit un polynôme non nul de . A tout polynôme , on associe le polynôme , c'est à dire le polynôme dérivée -ième du produit .
  1. Soient et dans .
    (i) Exprimer le degré de en fonction de et des degrés de et de .
    (ii) En déduire que .
On considère :
On admet que est un endomorphisme de .
2. Etude de deux exemples:
a) et
(i) Exprimer et . En déduire la matrice de dans la base canonique ( ) de
(ii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de .
(iii) est-il diagonalisable? Est-ce un automorphisme de ?
b) et
(i) Ecrire la matrice de dans la base canonique ( ) de
(ii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
(iii) est-il diagonalisable? Est-ce un automorphisme de ?
3. Cas général: On note le degré de et on pose .
(i) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur le polynôme pour que soit un automorphisme de .
(ii) Exprimer la matrice de dans la base canonique de et montrer qu'elle est triangulaire supérieure.
(iii) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur le polynôme pour que soit diagonalisable.

Exercice 2

  1. Montrer que :
    .
  2. Soit . Montrer que la fonction:
est intégrable sur .
3. On considère :
a) (i) Déduire de la question 1. l'encadrement :
(ii) Montrer que admet une limite quand tend vers . Quelle est cette limite?
b) (i) Montrer que:
(ii) En déduire le comportement de g quand tend vers 0 par valeurs supérieures.
4. a) Soit , montrer que :
est de classe sur , et que:
b) Montrer, en énonçant avec précision le théorème utilisé, que est de classe sur et que :
en posant .
c) En déduire le sens de variation de sur , puis sur .
5. a) Soit différent de 1 . Déterminer et tels que :
b) Soit différent de 1. à l'aide d'une intégration par parties, montrer que:
c) Démontrer que :
  1. En déduire pour tout
  2. En déduire pour tout , puis pour tout .

Exercice 3

Soit un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct . est l' arc paramétré défini par l'application :
où sont les coordonnées de dans le repère .
  1. Quelles sont les valeurs de pour lesquels le point est singulier ?
  2. Soit . Déterminer la tangente au point .
  3. Décrire la position de la courbe par rapport à la tangente aux points suivants :
    a) au point correspondant à la valeur du paramètre
    b) au point correspondant à la valeur du paramètre.
  4. Représenter la courbe ( ).
  5. On considère deux points de ( ), de paramètre et de paramètre .
    a) Montrer que, pour que les tangentes à ( ) en et en soient perpendiculaires, il faut et il suffit que :
b) Soit le point d'intersection de ces deux tangentes, lorsqu'elles sont perpendiculaires. Démontrer que les coordonnées du point , en fonction de sont :
  1. a) Montrer que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à est une parabole dont une équation est:
b) Déterminer le sommet, le foyer, la directrice et l'axe de cette parabole.
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