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E3A Mathématiques B PC 2003

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsGéométrie
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Banque
E3A
Année
2003
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2003PC MathsMaths 2003
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC
durée 3 heures

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

Soit , muni du produit scalaire défini par :
On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire.
Soit l'application de dans qui envoie un polynôme sur :
où l'on note respectivement ou , ainsi que ou les dérivées premières et deuxièmes de .
  1. Vérifier que est un endomorphisme de l'espace vectoriel .
  2. Soit . Montrer que le degré de est inférieur ou égal au degré de .
Pour tout entier naturel non nul , on note le sous-espace vectoriel de formé par les polynômes de degré . On note l'endomorphisme induit par sur , c'est à dire:
  1. Ecrire la matrice de sur la base .
  2. En déduire les valeurs propres de .
  3. L'endomorphisme est-il diagonalisable?
  4. Montrer que pour tout entier naturel , il existe un unique polynôme de degré et de coefficient dominant égal à 1 tel que .
  5. Exprimer en fonction du polynôme
  1. Montrer que, pour tous et dans , on a :
  1. En déduire pour deux entiers naturels non nuls .

Exercice 2

Le but de l'exercice est de déterminer les fonctions de classe sur , solutions de l'équation (*) :
  1. Déterminer les solutions constantes.
  2. Soit une solution non constante.
    (i) Montrer que et que .
    (ii) Montrer que est une fonction paire.
  3. Soit une solution non constante. On considère la fonction définie sur par:
(i) Justifier que est de classe sur .
(ii) Calculer les dérivées partielles secondes de .
(iii) Des expressions de et , déduire que vérifie une équation différentielle de la forme :
Donner les solutions de cette équation selon les valeurs de .
4. Déterminer toutes les solutions de l'équation (*).

Exercice 3

Soit un plan affine Euclidien muni d'un repère orthonormé .
Soit un point de distinct de . On note l'unique point sur la droite tel que . On remarquera que est distinct de .
  1. Exprimer en fonction de et .
  2. Exprimer les coordonnées de en fonction des coordonnées de .
On note l'application définie ci-dessus de dans lui-même définie par .
3. Montrer que . En déduire que est une bijection de sur lui-même.
4. Soit une droite du plan passant par le point . Montrer que:
  1. On considère la région du plan définie par :
Montrer que .
6. On considère et les régions du plan définies par :
Représenter sur un graphique les régions et . Montrer que .
On considère la courbe de définie par l'équation avec .
7. Quelle est la nature de ? représenter .
8. Montrer que .
9. Montrer que la courbe peut être paramétrée par
  1. En déduire que la courbe est paramétrée par :
  1. En introduisant la variable telle que , démontrer que la courbe admet pour équation polaire avec .
  2. Représenter .
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