Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

EXERCICE

On note

une matrice carrée d'ordre

à coefficients complexes,

est la matrice identité carrée d'ordre

ayant des 1 sur la diagonale et des zéros ailleurs.

Le noyau et l'image d'une matrice désignent respectivement le noyau et l'image de l'application linéaire canoniquement associés à cette matrice.

On considère la matrice

carrée d'ordre

à coefficients complexes définie par blocs de la façon suivante :

Soit l'application qui à tout vecteur de associe le vecteur de .
a) Montrer que est une application linéaire.
b) Montrer que est bijective du noyau de la matrice vers le noyau de la matrice . Quelle relation en déduit-on entre les dimensions de et de ?
c) En déduire le rang de la matrice en fonction du rang de la matrice . Citer le théorème utilisé.
On suppose, dans cette question, que la matrice est diagonalisable et inversible.
a) Exprimer la matrice en fonction de .
b) Démontrer que la matrice est diagonalisable.
c) Montrer que la matrice est inversible.
d) En déduire, en citant le théorème du cours utilisé, que la matrice est diagonalisable.
On suppose, dans cette question, que la matrice est diagonalisable.
a) Démontrer que .
b) En déduire .
c) Montrer que la matrice est inversible (indication : pour , on pourra considérer le vecteur .)
d) Démontrer que la matrice est diagonalisable.
Que peut-on déduire des questions 2) et 3 ) ?

EXERCICE

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle : .
b) On note sa somme . Préciser son ensemble de définition .
a) Démontrer que la fonction est dérivable sur et donner une expression simple de sa dérivée.
b) Déterminer deux nombres réels et tels que : , en déduire que :

a) Montrer, en énonçant le théorème du cours utilisé, que l'application est intégrable sur et que :

b) En déduire que l'intégrale

est convergente et que:

Montrer que l'intégrale existe.
Calculer où .
On admet la convergence de l'intégrale suivante :

Montrer que l'intégrale

est convergente.
7) On admet que les intégrales

sont égales.
a) Exprimer

en fonction de

.
b) Exprimer

en fonction de

.
c) En déduire la valeur de l'intégrale

.
8) En déduire, à l'aide des questions précédentes, la somme de la série

EXERCICE

On sait qu'une hyperbole admet une équation de la forme dans un repère orthonormé avec .
On rappelle qu'une hyperbole est dite équilatère lorsque ses asymptotes sont perpendiculaires. Montrer que l'hyperbole est une hyperbole équilatère si et seulement si . On considère que cette condition est maintenant réalisée.
Montrer qu'il existe un repère orthonormé dans lequel admet une équation de la forme avec .
On considère quatre points , distincts deux à deux de l'hyperbole équilatère situés sur un même cercle de centre et de rayon .
a) Donner une équation du cercle dans le repère .
b) Montrer que les abscisses des points dans le repère vérifient une équation polynomiale de degré quatre.
c) Montrer que le produit de leurs abscisses dans le repère est constant.
La condition obtenue à la question 3)c) est-t-elle suffisante pour affirmer que les quatre points sont sur un même cercle?