Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit une fonction de classe sur développable en série entière sur . On pose :

Soit un réel strictement positif. On considère l'équation différentielle :

On désigne par la réunion des intervalles et .
2. 2a) Résoudre sur l'équation homogène

2b) Quelles sont les solutions sur de l'équation homogène qui admettent une limite finie en 0 ?
3. Soient deux réels. Justifier que l'équation différentielle admet une unique solution définie sur et telle que et . On énoncera précisément le théorème utilisé.
4. Montrer qu'il existe au plus une solution de sur qui admet une limite finie en 0.
5. Soit une fonction développable en série entière ; son rayon de convergence noté est supposé non nul. On note les coefficients de :

5a) On suppose que est solution de l'équation différentielle sur [. Exprimer les coefficients en fonction des coefficients de . Que peut on dire alors de ?
Réciproquement, démontrer que admet une unique solution développable en série entière sur . On introduira la série entière :

dont on déterminera le rayon de convergence.
5c) Au vu des résultats précédents, quelles précisions peut-on apporter à la question 4 ?
6. Dans cette question, .

6a) Soit ; démontrer que l'intégrale est convergente.
On définit sur en posant :

6b) Montrer que est solution de l'équation différentielle sur .
6c) Montrer que admet une limite finie lorsque tend vers 0 par valeurs positives. Déterminer cette limite.
6d) En déduire que :

Soit la fonction définie sur :

Dans l'exercice, on considère le disque unité et le cercle unité

1a). Justifier que est de classe sur .
1b). Calculer les dérivées partielles et de au point .
. Démontrer que les points tels que et sont exactement les points et .
1d). Effectuer un développement limité à l'ordre 2 de la fonction au voisinage de . Le point est-il un extremum local de ? Si oui, est-ce un minimum ou un maximum local ?
1e). De même, le point est-il un extremum local de ? Si oui, est-ce un minimum ou un maximum local ? Justifier votre réponse.
1f). Quels sont les extrema locaux de ? On énoncera avec soin le théorème utilisé.
2. Désormais, soit la fonction définie sur le disque unité par .

2a). Justifier que admet un maximum et un minimum sur .
2b). Démontrer que ne peut être atteint que sur le cercle .
2c). Montrer que, . En déduire la valeur de et les points de sur lesquels atteint cette valeur.
2d). Déterminer la valeur de et les points de sur lesquels atteint cette valeur.

Soit un entier naturel . On considère la matrice de taille à coefficients réels dont tous les coefficients sont égaux à :

Le vecteur de dont toutes les coordonnées sont égales à 1 est noté .

Soit une matrice de taille à coefficients réels.
5. Dans cette question, on considère l'équation d'inconnue le réel :

On note l'ensemble des solutions de l'équation .
(a) Lorsque , la matrice nulle, déterminer .
(b) Lorsque , la matrice identité, montrer que est réduit à un unique élément. Préciser cet élément.
(c) On suppose inversible. Soit .
(i) Montrer qu'un vecteur dans le noyau de est colinéaire au vecteur .
(ii) Soit . En notant la somme des coordonnées du vecteur , démontrer l'équivalence :

En déduire que est au plus de cardinal 1. Pour quelle valeur de , l'ensemble est-il vide?
(d) On se propose de déterminer lorsque est non inversible.
(i) Montrer que est non vide.
(ii) S'il existe un réel tel que est inversible, établir une bijection entre et l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue , définie par :

(iii) Conclure.
6. Soit la fonction de la variable réelle définie en posant :

(a) Démontrer qu'il existe des réels et tels que : . Expliciter et en fonction de et des coefficients de la comatrice de .
On rappelle que la comatrice de est la matrice dont le -ème coefficient est le déterminant de la matrice obtenue en retirant à sa -ème ligne et sa -ème colonne, multiplié par , pour tous les indices et dans .
(b) Retrouver ainsi les résultats de la question 5.