Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Pour

, on considère une suite de réels

telle que :

. On note

l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

Soit

l'application définie par :

Montrer que est un produit scalaire sur .
On définit la suite de polynômes de par :

(a) Montrer que la famille

est une base

.
(b) Montrer que la base orthonormée

, déduite par le procédé de Schmidt de la base

, est la base (

) où

est le

polynôme de Lagrange défini par

(a) Déterminer les coordonnées du polynôme pour dans la base .
(b) On se propose de calculer .
i. En utilisant des opérations élémentaires, montrer que :

ii. Calculer

.
(c) Montrer que

est indépendant de la base orthonormée

choisie.
(d) Montrer qu'il existe une base orthonormée

telle que la matrice des coordonnées des vecteurs

dans la base

soit triangulaire.
(e) En déduire que :

Exercice 2

Le plan affine est rapporté au repère orthonormé direct

Soit la courbe d'équation polaire .
(a) Etudier et tracer la courbe .
(b) Montrer que est une conique dont on précisera les éléments caractéristiques (foyer et directrice).
A tout point de on associe le point projeté orthogonal de sur l'axe ( ). On appelle le symétrique de par rapport à et le projeté orthogonal du point sur la droite . On appelle l'ensemble des points .
(a) Déterminer, en fonction de , les coordonnées du point dans le repère .
(b) Lorsque est distinct de , on pose une mesure de l'angle modulo . Calculer et en fonction de .
(c) Montrer que l'équation polaire de l'ensemble dans le repère est .
Etudier la courbe d'équation polaire dans le repère .On étudiera en particulier, le signe de , les branches infinies, les points stationnaires s'ils existent .
Tracer l'ensemble sur le même graphique que .

Exercice 3

Soit

une matrice carrée d'ordre

à coefficients complexes définie par blocs par

où

sont trois matrices carrées d'ordre

à coefficients complexes. On suppose que la matrice

est diagonalisable et que

(a) Montrer que pour tout polynôme à coefficients complexes, il existe une matrice carrée d'ordre telle que .
(b) Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients complexes scindé à racines simples vérifiant .
(c) En déduire que les matrices et sont diagonalisables.
Soit la matrice carrée d'ordre à coefficients complexes définie par blocs par .
(a) Montrer que .
(b) En déduire qu'il existe une matrice inversible et deux matrices diagonales et telles que:
et .
(c) En déduire que la matrice est diagonalisable.
Montrer que la matrice est nulle .