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E3A Mathématiques A PSI 2013

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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Banque
E3A
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Maths
E3A PSIE3A 2013PSI MathsMaths 2013
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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Le sujet comporte des questions préliminaires et un problème de quatre parties numérotées et . Les parties et du problème sont indépendantes de la partie .
L'ensemble des polynômes à coefficients complexes est noté .
Soit un entier strictement supérieur à 2 . On désigne par l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients complexes.
Pour toute matrice , on note le déterminant de . On note le polynôme caratéristique de la matrice défini par où désigne la matrice identité de .
On note le nombre complexe . Autant que possible, on préférera écrire plutôt que .

Questions préliminaires d'application directe du cours.

Les résultats de ces questions seront utilisés dans les parties et du problème.
  1. a) Expliciter, sans justification, l'ensemble des racines -ièmes de l'unité à l'aide de .
    b) Factoriser, sans justification, le polynôme comme produit de polynômes irréductibles dans .
    c) Soit . Montrer que, selon la valeur de , la somme est égale, soit à 0 , soit à .
  2. Soient une matrice diagonalisable de et ses valeurs propres non nécessairement distinctes. Chaque valeur propre est écrite autant de fois que son ordre de multiplicité.
    a) Démontrer que l'on a .
    b) Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé. Montrer que pour tout entier naturel , le vecteur est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
    c) Montrer que, pour tout polynôme , la matrice est diagonalisable.
    d) Des questions précédentes, déduire que, pour tout polynôme , on a

Problème

A. 1) Soit un réel strictement positif. Calculer la valeur de l'intégrale
après en avoir justifié l'existence.
2) Pour tous réels et , calculer le module du nombre complexe .
3) Montrer que, si , alors l'intégrale existe.
On note la fonction de [ dans définie par
  1. A l'aide d'un changement de variable, montrer que la fonction est paire.
  2. Montrer que la fonction est de classe sur .
  3. Montrer que pour tout réel et , on a les deux égalités
où l'on a posé .
On pourra utiliser, en le justifiant, le changement de variable .
7) Démontrer que est de classe sur et donner, pour tout , une expression de et de .
B. 1) Soit un nombre complexe. On considère la matrice définie par où
à
Démontrer que l'on a .
On pourra utiliser les opérations élémentaires sur les colonnes pour variant de 2 à .
2) Soient un -espace vectoriel de dimension et une base de . On définit l'endomorphisme de par
a) Ecrire la matrice de relativement à la base .
b) Montrer que le polynôme caractéristique de est donné par
c) Préciser les valeurs propres de . La matrice de est-elle diagonalisable?
3) Soit le -uplet . On lui associe la matrice de donnée par
Ses coefficients sont précisément définis par .
On admettra que l'on a .
Montrer que est diagonalisable.
4) Montrer que les valeurs propres de sont les nombres complexes où et .
C. Soit une fonction définie sur à valeurs dans . On considère la matrice telle que où avec
  1. a) Vérifier que les valeurs propres de sont les
ù
b) En déduire, en utilisant la question 1)c) des questions préliminaires, que, pour tout entier , on a .
c) Montrer que l'on a .
2) Dans cette question, on pose où avec .
a) Justifier que est bien définie sur .
b) Vérifier que l'on a .
c) Démontrer, qu'alors, est égale à la matrice de la question B.1).
D. 1) Soit une fonction continue sur . Justifier l'égalité suivante
  1. Dans cette question, on considère que est réel tel que et on pose
a) Vérifier que la fonction est définie et continue sur .
b) A l'aide de la partie , montrer que, pour tout , on a
où est la matrice de la question B.1).
c) Retrouver alors l'expression de obtenue à la question A.7).
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