Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Dans toute l'épreuve,

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 ,
désigne l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels à lignes et colonnes,
on identifiera la matrice et l'endomorphisme de canoniquement associé,
est la matrice identité et la matrice nulle de .

Questions de Cours

Donner la définition de deux matrices semblables.

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou est-elle fausse?
2.

On justifiera la réponse par une démonstration ou un contre-exemple en dimension adéquate.
2.1 Deux matrices semblables ont le même rang.
2.2 Deux matrices ayant le même rang sont semblables.
2.3 Deux matrices semblables ont le même déterminant.
2.4 Deux matrices ayant le même déterminant sont semblables.
2.5 Si

vérifie

, alors

.
2.6 Si

vérifie

, alors

.
2.7 Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
2.8 Deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont semblables.

Problème

Soit

.
On appelle

le coefficient de

situé sur la

-ième ligne et sur la

-ième colonne.
On suppose que pour tout couple

, on a :

Ainsi, par exemple, pour

Enfin, dans tout le problème, on note

.
Partie 1

On prend dans cette partie

et on note

la matrice transposée de la matrice

Soit . On trouvera de la forme : .
1.1 est-elle diagonalisable?
1.2 Démontrer, sans les calculer, que les valeurs propres de sont réelles, positives ou nulles.
1.3 Vérifier le résultat de la question précédente par le calcul des valeurs propres de .
Soit l'ensemble des points de défini par :

2.1 Donner la nature de

et ses éléments de symétrie.
2.2 Déterminer les intersections de

avec chacun des trois plans d'équations

, notées respectivement

.
2.3 Sur la feuille jointe à annexer à la copie, donner une représentation graphique de chacune de ces intersections et une allure de

.
3. Soit

.
3.1 Déterminer le reste de la division enclidienne de

par

3.2 Justifier que

La matrice

est-elle inversible? Si oui, déterminer son inverse.
3.3 Déterminer les réels

tels que:

3.4 Soit

Vérifier que:

est combinaison linéaire de

.
Déterminer

Les résultats établis dans cette partie ne sont pas utiles pour traiter la suite du problème.

Partie 2

On prend dans cette partie .

Soit

la base canonique de

l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base

est

.
On rappelle que :

et pour tout

Pour tout , on pose . Montrer que la famille est une base de .
Ecrire la matrice de dans la base .
Calculer le polynôme caractéristique de .
Déterminer les valeurs propres de et une base de chacun des sous-espaces propres de . On choisira pour chaque vecteur propre, la première composante non nulle égale à 1 .
Soient et

Existe-t-il une matrice

telle que

? Si oui, en déterminer une.
6. Déterminer toutes les fonctions

de la variable réelle

, de classe

sur

qui vérifient le système différentiel :

Partie 3

On rappelle que

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note

.
Soit

l'application définie par :

où

désigne le polynôme dérivé du polynôme

Vérifier que est un endomorphisme de et donner sa matrice dans la base canonique de .
Soit l'équation différentielle :

où

est un réel quelconque.
2.1 Résoudre l'équation différentielle

pour

On pourra remarquer que :

2.2 Discuter suivant les valeurs du paramètre réel

l'existence de solutions polynomiales non nulles de (

) sur ] - 1,1 [.
3. En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de

.
4. La matrice

définie au début du problème est-elle diagonalisable?
5. Calculer le déterminant de la matrice

Partie 4

On considère l'équation différentielle

et on note :

é é

Soient, pour tout

et tout

Exprimer et comme combinaisons linéaires des fonctions ch et sh.
Prouver que est un espace vectoriel de dimension dont est une base.
Soit l'endomorphisme de l'espace qui à une fonction associe .
3.1 Montrer que induit sur un endomorphisme que l'on notera .
3.2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .
3.3 On note, pour tout l'application définie par:

Prouver que la famille

est une base de

.
On pourra montrer que tout élément de

est combinaison linéaire d'éléments de

.
3.4 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de

.
3.5 Ecrire la matrice

dans la base

.
3.6 Quels résultats retrouve-t-on?

Académie : Session: Modèle EN.
Examen ou Concours Série*:
Spécialité/option : Repère de l'épreuve :
Épreuve/sous-épreuve :
NOM :
(en majuscules, suivi s'il y a lieu, du nom d'épouse)
Prénoms :

du candidat
Né(e) le :

(le numéro est celui qui figure sur la
convocation ou la liste d'appel)
Examen ou concours :
Numérotez chaque
Spécialité/option :
page (dans le cadre
Repère de l'épreuve :
en bas de la page) et
Epreuve/sous-épreuve :
placez les feuilles
(Préciser, s'il y a lieu, le sujet choisi)
intercalaires dans le
bon sens

Note :
Appréciation du correcteur (uniquement s'il s'agit d'un examen) :
20

Uniquement s'il s'agit d'un examen.

11PSI10

Feuille à joindre à la copie

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.