Version interactive avec LaTeX compilé
E3A Mathématiques A PSI 2010
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsEquations différentiellesAlgèbre linéaireIntégrales généralisées
Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Dans tout le sujet,
| Applications directes du cours |
Soit
- Démontrer que si
est paire alors est impaire. - Démontrer une propriété analogue lorsque
est impaire. - Soit
l'application de dans qui à toute application associe l'application définie par :
3.1 Vérifier que
3.2 Retrouver, à l'aide de
4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles vraies?
5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions de
3.2 Retrouver, à l'aide de
4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles vraies?
5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions de
Préliminaires.
On rappelle
Soit
Soit
- Vérifier que
est un endomorphisme de . - Soit
. Existe-t-il telle que ? -
est-elle surjective? - Montrer que le noyau de
est de dimension finie. - Déterminer une base de
uniquement constituée de fonctions paires et de fonctions impaires. On pourra discuter suivant le signe de . - Quelle est la structure de l'ensemble des antécédents de la fonction constante égale à
par ? Décrire précisément cet ensemble. - 7.1 Déterminer l'intersection de
avec , le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions bornées de .
7.2 Ces deux sous-espaces sont-ils en somme directe?
7.3 Si on suppose, existe-t-il et tels que ?
7.4 Lorsque, les sous-espaces et sont-ils supplémentaires dans ?
Partie 1.
- Soit
la fonction - périodique, définie pour tout par :
1.1 Représenter graphiquement la fonction
1.2 Calculer les coefficients de Fourier réels de
1.3 Étudier la convergence de la série de Fourier de
1.4 Justifier la convergence de la série
1.5 Soit
1.6 Calculer :
1.7 La fonction
2. Soit
1.2 Calculer les coefficients de Fourier réels de
1.3 Étudier la convergence de la série de Fourier de
1.4 Justifier la convergence de la série
1.5 Soit
1.6 Calculer :
1.7 La fonction
2. Soit
Pour tout
2.1 Prouver que
2.2 Déterminer les fonctions
2.3 Vérifier que la fonction
2.4 Prouver que
3. Montrer que
4. Calculer
5. En déduire que :
6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment
7. Calculer la valeur de
8. En déduire la valeur de
2.1 Prouver que
2.2 Déterminer les fonctions
2.3 Vérifier que la fonction
2.4 Prouver que
3. Montrer que
4. Calculer
5. En déduire que :
6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment
7. Calculer la valeur de
8. En déduire la valeur de
\section*{
}
| Partie 2. |
On prend dans cette partie :
- Prouver que l'intégrale :
converge. - Soient
et .
2.1 Pour quelles valeurs del'intégrale existe-t-elle?
2.2 Pour ces valeurs, calculer. - Pour tout
, exprimer sous forme d'une intégrale
- Prouver que :
. - En déduire le résultat :